Dependent vs Independent Events
I vores daglige liv støder vi på begivenheder med usikkerhed. For eksempel en chance for at vinde et lotteri, som du køber, eller en chance for at få det job, du søgte. Grundlæggende sandsynlighedsteori bruges til matematisk at bestemme chancen for at ske noget. Sandsynlighed er altid forbundet med tilfældige eksperimenter. Et eksperiment med flere mulige udfald siges at være et tilfældigt eksperiment, hvis udfaldet af et enkelt forsøg ikke kan forudsiges på forhånd. Afhængige og uafhængige hændelser er udtryk, der bruges i sandsynlighedsteori.
En begivenhed B siges at være uafhængig af en begivenhed A, hvis sandsynligheden for, at B indtræffer, ikke er påvirket af, om A er indtruffet eller ej. To begivenheder er ganske enkelt uafhængige, hvis udfaldet af den ene ikke påvirker sandsynligheden for, at den anden begivenhed indtræffer. Med andre ord er B uafhængig af A, hvis P(B)=P(B|A). På samme måde er A uafhængig af B, hvis P(A)=P(A|B). Her betegner P(A|B) den betingede sandsynlighed A, forudsat at B er sket. Hvis vi overvejer at kaste to terninger, har et tal, der dukker op i den ene terning, ingen indflydelse på, hvad der er kommet op i den anden terning.
For alle to begivenheder A og B i et eksempelrum S; den betingede sandsynlighed for A, givet at B er opstået, er P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Så hvis hændelse A er uafhængig af hændelse B, så betyder P(A)=P(A|B), at P(A∩B)=P(A) x P(B). På samme måde, hvis P(B)=P(B|A), så gælder P(A∩B)=P(A) x P(B). Derfor kan vi konkludere, at de to begivenheder A og B er uafhængige, hvis og kun hvis betingelse P(A∩B)=P(A) x P(B) gælder.
Lad os antage, at vi kaster en terning og kaster en mønt samtidigt. Så er sættet af alle mulige udfald eller prøverummet S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Lad begivenhed A være begivenheden for at få hoveder, så er sandsynligheden for begivenhed A, P(A) 6/12 eller 1/2, og lad B være begivenheden for at få et multiplum af tre på terningen. Så P(B)=4/12=1/3. Ingen af disse to hændelser har ingen indflydelse på forekomsten af den anden hændelse. Derfor er disse to begivenheder uafhængige. Da mængden (A∩B)={(3, H), (6, H)}, er sandsynligheden for, at en begivenhed får hoveder og multiplum af tre på terningen, dvs. P(A∩B) 2/12 eller 1/6. Multiplikationen, P (A) x P(B) er også lig med 1/6. Da de to begivenheder A og B holder betingelsen, kan vi sige, at A og B er uafhængige begivenheder.
Hvis udfaldet af en begivenhed er påvirket af udfaldet af den anden begivenhed, siges begivenheden at være afhængig.
Antag, at vi har en pose, der indeholder 3 røde bolde, 2 hvide bolde og 2 grønne bolde. Sandsynligheden for at trække en hvid kugle tilfældigt er 2/7. Hvad er sandsynligheden for at tegne en grøn bold? Er det 2/7?
Hvis vi havde trukket den anden bold efter at have erstattet den første bold, vil denne sandsynlighed være 2/7. Men hvis vi ikke erstatter den første bold, som vi har taget ud, så har vi kun seks bolde i posen, så sandsynligheden for at trække en grøn bold er nu 2/6 eller 1/3. Derfor er den anden hændelse afhængig, da den første hændelse har en effekt på den anden hændelse.
Hvad er forskellen mellem afhængig begivenhed og uafhængig begivenhed?
