Gensidigt eksklusive vs uafhængige begivenheder
Folk forveksler ofte begrebet gensidigt eksklusive begivenheder med uafhængige begivenheder. Faktisk er det to forskellige ting.
Lad A og B være to hændelser, der er forbundet med et tilfældigt eksperiment E. P(A) kaldes "Sandsynligheden for A". På samme måde kan vi definere sandsynlighed for B som P(B), sandsynlighed for A eller B som P(A∪B), og sandsynlighed for A og B som P(A∩B). Derefter P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
To begivenheder siges dog at være gensidigt udelukkende, hvis forekomsten af den ene begivenhed ikke påvirker den anden. De kan med andre ord ikke forekomme samtidigt. Derfor, hvis to hændelser A og B udelukker hinanden, så er A∩B=∅, og det indebærer derfor P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Lad A og B være to hændelser i et stikprøverum S. Betinget sandsynlighed for A, givet at B har fundet sted, er angivet med P(A | B) og er defineret som; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), forudsat P(B)>0. (ellers er det ikke defineret.)
En begivenhed A siges at være uafhængig af en begivenhed B, hvis sandsynligheden for, at A indtræffer, ikke er påvirket af, om B er indtruffet eller ej. Med andre ord har udfaldet af begivenheden B ingen effekt på udfaldet af begivenheden A. Derfor er P(A | B)=P(A). Tilsvarende er B uafhængig af A, hvis P(B)=P(B | A). Derfor kan vi konkludere, at hvis A og B er uafhængige hændelser, så er P(A∩B)=P(A). P(B)
Antag, at en nummereret terning er rullet, og en pæn mønt er vendt. Lad A være den begivenhed, at opnå et hoved, og B være begivenheden, der kaster et lige tal. Så kan vi konkludere, at begivenheder A og B er uafhængige, fordi det udfald af den ene ikke påvirker udfaldet af den anden. Derfor er P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Da P(A∩B)≠0, kan A og B ikke udelukke hinanden.
Antag, at en urne indeholder 7 hvide kugler og 8 sorte kugler. Definer begivenhed A som at tegne en hvid marmor og begivenhed B som at tegne en sort marmor. Hvis man antager, at hver marmor bliver udskiftet efter at have noteret dens farve, så vil P(A) og P(B) altid være de samme, uanset hvor mange gange vi trækker fra urnen. Udskiftning af kuglerne betyder, at sandsynligheden ikke ændres fra lodtrækning til trækning, uanset hvilken farve vi valgte ved den sidste trækning. Derfor er begivenhed A og B uafhængige.
Men hvis kugler blev tegnet uden udskiftning, ændres alt. Under denne antagelse er begivenhederne A og B ikke uafhængige. At tegne en hvid marmor første gang ændrer sandsynligheden for at tegne en sort marmor på den anden trækning og så videre. Med andre ord har hver lodtrækning en effekt på den næste trækning, og de individuelle trækninger er derfor ikke uafhængige.
Forskellen mellem gensidigt eksklusive og uafhængige begivenheder
– Gensidig eksklusivitet af begivenheder betyder, at der ikke er nogen overlapning mellem sættene A og B. Uafhængighed af begivenheder betyder, at begivenheden finder sted, ikke påvirker begivenheden af B.
– Hvis to begivenheder A og B udelukker hinanden, så er P(A∩B)=0.
– Hvis to hændelser A og B er uafhængige, så P(A∩B)=P(A). P(B)
