Fourier Series vs Fourier Transform
Fourier-serien dekomponerer en periodisk funktion til en sum af sinus og cosinus med forskellige frekvenser og amplituder. Fourier-serien er en gren af Fourier-analysen, og den blev introduceret af Joseph Fourier. Fourier Transform er en matematisk operation, der bryder et signal ind i dets konstituerende frekvenser. Det oprindelige signal, der ændrede sig over tid, kaldes tidsdomæne-repræsentationen af signalet. Fourier-transformationen kaldes frekvensdomæne-repræsentationen af et signal, da den afhænger af frekvensen. Både frekvensdomæne-repræsentationen af et signal og den proces, der bruges til at transformere dette signal til frekvensdomænet, omtales som Fourier-transformationen.
Hvad er Fourier-serien?
Som tidligere nævnt er Fourier-rækken en udvidelse af en periodisk funktion ved hjælp af uendelig sum af sinus og cosinus. Fourier-serier blev oprindeligt udviklet ved løsning af varmeligninger, men senere blev det fundet ud af, at den samme teknik kan bruges til at løse et stort sæt matematiske problemer, især de problemer, der involverer lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Nu har Fourier-serien applikationer inden for et stort antal områder, herunder elektroteknik, vibrationsanalyse, akustik, optik, signalbehandling, billedbehandling, kvantemekanik og økonometri. Fourier-serier bruger ortogonalitetsrelationer for sinus- og cosinusfunktioner. Beregningen og undersøgelsen af Fourier-serier er kendt som den harmoniske analyse og er meget nyttig, når man arbejder med vilkårlige periodiske funktioner, da det gør det muligt at opdele funktionen i simple termer, der kan bruges til at opnå en løsning på det oprindelige problem.
Hvad er Fourier-transformation?
Fourier-transformation definerer et forhold mellem et signal i tidsdomænet og dets repræsentation i frekvensdomænet. Fourier-transformationen nedbryder en funktion til oscillerende funktioner. Da dette er en transformation, kan det originale signal opnås ved at kende transformationen, således at der ikke skabes eller går tabt information i processen. Studie af Fourier-serier giver faktisk motivation til Fourier-transformationen. På grund af egenskaberne af sinus og cosinus er det muligt at genvinde mængden af hver bølge bidrager til summen ved hjælp af et integral. Fourier-transformation har nogle grundlæggende egenskaber såsom linearitet, translation, modulering, skalering, konjugation, dualitet og foldning. Fourier-transformation anvendes til at løse differentialligninger, da Fourier-transformationen er tæt forbundet med Laplace-transformation. Fourier-transformation bruges også i nuklear magnetisk resonans (NMR) og i andre former for spektroskopi.
Forskel mellem Fourier Series og Fourier Transform
Fourier-serien er en udvidelse af periodisk signal som en lineær kombination af sinus og cosinus, mens Fourier-transformation er den proces eller funktion, der bruges til at konvertere signaler fra tidsdomæne til frekvensdomæne. Fourier-serier er defineret for periodiske signaler, og Fourier-transformationen kan anvendes på aperiodiske (forekommer uden periodicitet) signaler. Som nævnt ovenfor giver studiet af Fourier-serier faktisk motivation til Fourier-transformationen.
