Laplace vs Fourier Transforms
Både Laplace-transformation og Fourier-transformation er integr altransformationer, som oftest anvendes som matematiske metoder til at løse matematisk modellerede fysiske systemer. Processen er enkel. En kompleks matematisk model konverteres til en enklere, løsbar model ved hjælp af en integreret transformation. Når den enklere model er løst, anvendes den inverse integr altransformation, hvilket ville give løsningen til den oprindelige model.
For eksempel, da de fleste fysiske systemer resulterer i differentialligninger, kan de konverteres til algebraiske ligninger eller i lavere grad let opløselige differentialligninger ved hjælp af en integr altransformation. Så bliver det nemmere at løse problemet.
Hvad er Laplace-transformationen?
Givet en funktion f (t) af en reel variabel t, er dens Laplace-transformation defineret af integralet [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (når den findes), som er en funktion af en kompleks variabel s. Det er norm alt betegnet med L { f (t)}. Den omvendte Laplace-transformation af en funktion F(s) anses for at være funktionen f (t) på en sådan måde, at L { f (t)}=F (s), og i den sædvanlige matematiske notation skriver vi, L-1{ F (s)}=f (t). Den inverse transformation kan gøres unik, hvis null-funktioner ikke er tilladt. Man kan identificere disse to som lineære operatorer defineret i funktionsrummet, og det er også let at se, at L -1{ L { f (t)}}=f (t), hvis null-funktioner ikke er tilladt.
Den følgende tabel viser Laplace-transformationerne af nogle af de mest almindelige funktioner.
Hvad er Fourier-transformationen?
Givet en funktion f (t) af en reel variabel t, er dens Laplace-transformation defineret af integralet [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (når den findes), og er norm alt betegnet med F { f (t)}. Den inverse transformation F -1{ F (α)} er givet af integralet [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourier-transformation er også lineær og kan opfattes som en operator defineret i funktionsrummet.
Ved brug af Fourier-transformationen kan den oprindelige funktion skrives som følger, forudsat at funktionen kun har et begrænset antal diskontinuiteter og er absolut integrerbar.
Hvad er forskellen mellem Laplace- og Fourier-transformerne?
- Fourier-transformation af en funktion f (t) er defineret som [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], hvorimod laplace-transformationen af den er defineret til at være [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier-transformation er kun defineret for funktioner, der er defineret for alle de reelle tal, hvorimod Laplace-transformation ikke kræver, at funktionen defineres på sæt de negative reelle tal.
- Fourier-transformation er et speci altilfælde af Laplace-transformationen. Det kan ses, at begge falder sammen for ikke-negative reelle tal. (dvs. tag s i Laplace for at være iα + β, hvor α og β er reelle, således at e β=1/ √(2ᴫ))
- Hver funktion, der har en Fourier-transformation, vil have en Laplace-transformation, men ikke omvendt.
