Sandsynlighedsfordelingsfunktion vs. Sandsynlighedstæthedsfunktion
Sandsynlighed er sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted. Denne idé er meget almindelig og bruges ofte i det daglige liv, når vi vurderer vores muligheder, transaktioner og mange andre ting. Det er lidt mere udfordrende at udvide dette enkle koncept til et større sæt begivenheder. For eksempel kan vi ikke nemt finde ud af chancerne for at vinde et lotteri, men det er praktisk, ret intuitivt, at sige, at der er en sandsynlighed for, at én ud af seks får nummer seks i en terning kastet.
Når antallet af begivenheder, der kan finde sted, bliver større, eller antallet af individuelle muligheder er stort, mislykkes denne ret simple idé om sandsynlighed. Derfor skal det gives en solid matematisk definition, før man nærmer sig problemer med højere kompleksitet.
Når antallet af begivenheder, der kan finde sted i en enkelt situation, er stort, er det umuligt at betragte hver begivenhed individuelt som i eksemplet med de kastede terninger. Derfor er hele sættet af begivenheder opsummeret ved at introducere begrebet tilfældig variabel. Det er en variabel, som kan antage værdierne af forskellige hændelser i den pågældende situation (eller prøverummet). Det giver en matematisk mening til simple hændelser i situationen, og matematisk måde at adressere hændelsen på. Mere præcist er en tilfældig variabel en reel værdifunktion over elementerne i stikprøverummet. De tilfældige variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. De er norm alt angivet med de store bogstaver i det engelske alfabet.
Sandsynlighedsfordelingsfunktion (eller simpelthen sandsynlighedsfordelingen) er en funktion, der tildeler sandsynlighedsværdierne for hver hændelse; det giver en relation til sandsynligheden for de værdier, som den stokastiske variabel kan tage. Sandsynlighedsfordelingsfunktionen er defineret for diskrete stokastiske variable.
Sandsynlighedstæthedsfunktion er ækvivalent med sandsynlighedsfordelingsfunktionen for de kontinuerte stokastiske variable, giver sandsynligheden for, at en bestemt stokastisk variabel antager en bestemt værdi.
Hvis X er en diskret stokastisk variabel, kaldes funktionen givet som f (x)=P (X=x) for hver x inden for X-området for sandsynlighedsfordelingsfunktionen. En funktion kan fungere som sandsynlighedsfordelingsfunktionen, hvis og kun hvis funktionen opfylder følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
En funktion f (x), der er defineret over mængden af reelle tal, kaldes sandsynlighedstæthedsfunktionen for den kontinuerte stokastiske variabel X, hvis og kun hvis, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx for alle reelle konstanter a og b.
Sandsynlighedstæthedsfunktionen skal også opfylde følgende betingelser.
1. f (x) ≥ 0 for alle x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Både sandsynlighedsfordelingsfunktionen og sandsynlighedsdensitetsfunktionen bruges til at repræsentere fordelingen af sandsynligheder over stikprøverummet. Norm alt kaldes disse sandsynlighedsfordelinger.
Til statistisk modellering udledes standardsandsynlighedstæthedsfunktioner og sandsynlighedsfordelingsfunktioner. Normalfordelingen og standardnormalfordelingen er eksempler på de kontinuerlige sandsynlighedsfordelinger. Binomialfordeling og Poisson-fordeling er eksempler på diskrete sandsynlighedsfordelinger.
Hvad er forskellen mellem sandsynlighedsfordeling og sandsynlighedstæthedsfunktion?
• Sandsynlighedsfordelingsfunktion og sandsynlighedstæthedsfunktion er funktioner defineret over stikprøverummet for at tildele den relevante sandsynlighedsværdi til hvert element.
• Sandsynlighedsfordelingsfunktioner er defineret for de diskrete stokastiske variable, mens sandsynlighedstæthedsfunktioner er defineret for de kontinuerte stokastiske variable.
• Fordeling af sandsynlighedsværdier (dvs. sandsynlighedsfordelinger) skildres bedst med sandsynlighedstæthedsfunktionen og sandsynlighedsfordelingsfunktionen.
• Sandsynlighedsfordelingsfunktionen kan repræsenteres som værdier i en tabel, men det er ikke muligt for sandsynlighedstæthedsfunktionen, fordi variablen er kontinuert.
• Når den er plottet, giver sandsynlighedsfordelingsfunktionen et søjleplot, mens sandsynlighedsdensitetsfunktionen giver en kurve.
• Højden/længden af søjlerne i sandsynlighedsfordelingsfunktionen skal adderes til 1, mens arealet under kurven for sandsynlighedstæthedsfunktionen skal adderes til 1.
• I begge tilfælde skal alle værdier af funktionen være ikke-negative.
