Ortogonal vs Ortonormal
I matematik bruges de to ord ortogonal og ortonormal ofte sammen med et sæt vektorer. Her bruges udtrykket 'vektor' i den forstand, at det er et element i et vektorrum - en algebraisk struktur brugt i lineær algebra. Til vores diskussion vil vi overveje et indre produktrum – et vektorrum V sammen med et indre produkt defineret på V.
Som et eksempel, for et indre produkt, er rummet sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer sammen med det sædvanlige prikprodukt.
Hvad er ortogon alt?
En ikke-tom delmængde S af et indre produktrum V siges at være ortogonal, hvis og kun hvis for hver distinkt u, v i S, [u, v]=0; dvs. det indre produkt af u og v er lig med nulskalaren i det indre produktrum.
For eksempel, i sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer, svarer dette til at sige, at for hvert særskilt par af positionsvektorer p og q i S, er p og q vinkelrette på hinanden. (Husk, at det indre produkt i dette vektorrum er prikproduktet. Desuden er prikproduktet af to vektorer lig med 0, hvis og kun hvis de to vektorer er vinkelrette på hinanden.)
Betragt mængden S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, som er en delmængde af de 3-dimensionelle positionsvektorer. Bemærk, at (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Derfor er mængden S ortogonal. Især to vektorer siges at være ortogonale, hvis deres indre produkt er 0. Derfor er hvert par af vektorer i Sis ortogonale.
Hvad er ortonorm alt?
En ikke-tom delmængde S af et indre produktrum V siges at være ortonormal, hvis og kun hvis S er ortogonal, og for hver vektor u i S er [u, u]=1. Derfor kan det ses, at hvert ortonorm alt sæt er ortogon alt, men ikke omvendt.
For eksempel, i sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer, svarer dette til at sige, at for hvert særskilt par af positionsvektorer p og q i S, er p og q vinkelrette på hinanden, og for hvert p i S, |p|=1. Dette skyldes, at betingelsen [p, p]=1 reduceres til p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, hvilket svarer til |p |=1. Givet et ortogon alt sæt kan vi derfor altid danne et tilsvarende ortonorm alt sæt ved at dividere hver vektor med dens størrelse.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} er en ortonormal delmængde af sættet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer. Det er let at se, at det blev opnået ved at dividere hver af vektorerne i mængden S med deres størrelser.
Hvad er forskellen mellem ortogonal og ortonormal?
- En ikke-tom delmængde S af et indre produktrum V siges at være ortogonal, hvis og kun hvis for hver distinkt u, v i S, [u, v]=0. Den er imidlertid ortonormal, hvis og kun hvis en yderligere betingelse – for hver vektor u i S, [u, u]=1 er opfyldt.
- Ethvert ortonorm alt sæt er ortogon alt, men ikke omvendt.
- Ethvert ortogon alt sæt svarer til et unikt ortonorm alt sæt, men et ortonorm alt sæt kan svare til mange ortogonale sæt.
