Differentiering vs. afledt
I differentialregning er afledte og differentiering tæt beslægtede, men meget forskellige, og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske begreber relateret til funktioner.
Hvad er afledt?
Afledt af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multi-variable funktioner afhænger ændringen i funktionsværdien af retningen af ændringen af værdierne af de uafhængige variable. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den pågældende retning. Den afledede kaldes den retningsbestemte afledte. Partielle afledte er en særlig slags retningsbestemte afledte.
Afledt af en vektorvurderet funktion f kan defineres som grænsen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] hvor end det eksisterer endeligt. Som nævnt før giver dette os stigningshastigheden for funktionen f i retningen af vektoren u. I tilfælde af en enkeltværdifunktion reduceres dette til den velkendte definition af den afledede, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
For eksempel kan [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] differentieres over alt, og den afledede er lig med grænsen, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], hvilket er lig med [latex]3x^{2}+4[/latex]. Afledte funktioner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] findes over alt. De er henholdsvis lig med funktionerne [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dette er kendt som den første afledte. Norm alt er den første afledede af funktion f betegnet med f (1) Nu ved at bruge denne notation, er det muligt at definere højere ordens afledte. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] er andenordens retningsafledte, og angiver n th afledte med f (n) for hver n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definerer n th afledt.
Hvad er differentiering?
Differentiering er processen med at finde den afledede af en differentierbar funktion. D-operator betegnet med D repræsenterer differentiering i nogle sammenhænge. Hvis x er den uafhængige variabel, så er D ≡ d/dx. D-operatoren er en lineær operator, dvs. for alle to differentiable funktioner f og g og konstant c, gælder følgende egenskaber.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Ved brug af D-operatoren kan de andre regler forbundet med differentiering udtrykkes som følger. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 og D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
For eksempel, når F(x)=x 2sin x er differentieret med hensyn til x ved hjælp af de givne regler, vil svaret være 2 x sin x + x2cos x.
Hvad er forskellen mellem differentiering og afledt?• Afledt refererer til en ændringshastighed for en funktion • Differentiering er processen med at finde den afledede af en funktion. |
