Differenceligning vs differentialligning
Et naturligt fænomen kan beskrives matematisk ved funktioner af en række uafhængige variable og parametre. Især når de er udtrykt ved en funktion af rumlig position og tid resulterer det i ligninger. Funktionen kan ændre sig med ændringen i de uafhængige variabler eller parametrene. En uendelig lille ændring, der sker i funktionen, når en af dens variable ændres, kaldes den afledede af funktionen.
En differentialligning er enhver ligning, der indeholder afledte af en funktion såvel som selve funktionen. En simpel differentialligning er Newtons anden bevægelseslov. Hvis et objekt med massen m bevæger sig med acceleration 'a' og bliver påvirket med kraft F, fortæller Newtons anden lov os, at F=ma. Her igen varierer 'a' med tiden, vi kan omskrive 'a' som; a=dv/dt; v er hastighed. Hastighed er funktion af rum og tid, det vil sige v=ds/dt; derfor ‘a’=d2s/dt2
Med disse i tankerne kan vi omskrive Newtons anden lov som en differentialligning;
‘F’ som funktion af v og t – F(v, t)=mdv/dt, eller
'F' som funktion af s og t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Der er to typer differentialligninger; almindelig differentialligning, forkortet af ODE eller partiel differentialligning, forkortet af PDE. Almindelig differentialligning vil have almindelige afledte (afledte af kun én variabel) i sig. Partial differentialligning vil have differentialderivater (afledte af mere end én variabel) i sig.
f.eks. F=m d2s/dt2 er en ODE, hvorimod α2 d 2u/dx2=du/dt er en PDE, den har derivater af t og x.
Differenceligning er den samme som differentialligning, men vi ser på den i en anden sammenhæng. I differentialligninger betragtes den uafhængige variabel såsom tid i sammenhæng med et kontinuerligt tidssystem. I et diskret tidssystem kalder vi funktionen som differensligning.
Differenceligning er en funktion af forskelle. Forskellene i de uafhængige variable er tre typer; rækkefølge af tal, diskret dynamisk system og itereret funktion.
I rækkefølge af tal genereres ændringen rekursivt ved hjælp af en regel til at relatere hvert tal i rækkefølgen til tidligere tal i rækkefølgen.
Differenceligning i et diskret dynamisk system tager noget diskret inputsignal og producerer outputsignal.
Differenceligning er et itereret kort for itereret funktion. F.eks. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….er sekvensen af en itereret funktion. f(y0) er den første iteration af y0 Den k-te iteration vil blive angivet med fk (y0).
