Lineær ligning vs kvadratisk ligning
I matematik er algebraiske ligninger ligninger, der er dannet ved hjælp af polynomier. Når det er skrevet eksplicit, vil ligningerne have formen P(x)=0, hvor x er en vektor af n ukendte variable, og P er et polynomium. For eksempel, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 er en algebraisk ligning af to variable skrevet eksplicit. Desuden er (x+y)3=3x2y – 3zy4 en algebraisk ligning, men i implicit form. Det vil have formen Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, én gang skrevet eksplicit.
En vigtig egenskab ved en algebraisk ligning er dens grad. Det er defineret som den højeste potens af de termer, der forekommer i ligningen. Hvis et led består af to eller flere variable, vil summen af eksponenterne for hver variabel blive taget for at være ledts potens. Bemærk, at ifølge denne definition er P(x, y)=0 af grad 4, mens Q(x, y, z)=0 er af grad 5.
Lineære ligninger og andengradsligninger er to forskellige typer algebraiske ligninger. Graden af ligningen er den faktor, der adskiller dem fra resten af de algebraiske ligninger.
Hvad er en lineær ligning?
En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1. For eksempel er 4x + 5=0 en lineær ligning af én variabel. x + y + 5z=0 og 4x=3w + 5y + 7z er lineære ligninger af henholdsvis 3 og 4 variable. Generelt vil en lineær ligning af n variable have formen m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Her er xi'er de ukendte variable, mi'er og b er reelle tal, hvor hver af mi er ikke-nul.
Sådan en ligning repræsenterer et hyperplan i det n-dimensionelle euklidiske rum. Især repræsenterer en lineær ligning med to variable en ret linje i kartesisk plan, og en lineær ligning med tre variable repræsenterer en plan på euklidisk 3-rum.
Hvad er en andengradsligning?
En andengradsligning er en algebraisk ligning af anden grad. x2 + 3x + 2=0 er en andengradsligning med variabel variabel. x2 + y2 + 3x=4 og 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 er eksempler på andengradsligninger med henholdsvis 2 og 3 variable.
I tilfældet med en enkelt variabel er den generelle form for en andengradsligning ax2 + bx + c=0. Hvor a, b, c er reelle tal, hvoraf 'a' er ikke-nul. Diskriminanten ∆=(b2 – 4ac) bestemmer karakteren af rødderne til andengradsligningen. Ligningens rødder vil være reelt adskilte, reelle ens og komplekse i overensstemmelse med, at ∆ er positiv, nul og negativ. Ligningens rødder kan let findes ved hjælp af formlen x=(- b ± √∆) / 2a.
I tilfælde med to variable vil den generelle form være ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, og dette repræsenterer en kegle (parabel, hyperbel eller ellipse) i kartesisk plan. I højere dimensioner repræsenterer denne type ligninger hyper-overflader kendt som quadrics.
Hvad er forskellen mellem lineære og andengradsligninger?
• En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1, hvorimod en andengradsligning er en algebraisk ligning af grad 2.
• I det n-dimensionelle euklidiske rum er løsningsrummet for en n-variabel lineær ligning et hyperplan, mens det for en n-variabel andengradsligning er en kvadratisk overflade.
