Lineær ligning vs ikke-lineær ligning
I matematik er algebraiske ligninger ligninger, som er dannet ved hjælp af polynomier. Når det er skrevet eksplicit, vil ligningerne have formen P(x)=0, hvor x er en vektor af n ukendte variable, og P er et polynomium. For eksempel er P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 en algebraisk ligning i to variable skrevet eksplicit. Desuden er (x+y)3 =3x2y – 3zy4 en algebraisk ligning, men i implicit form, og det vil have formen Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, én gang skrevet eksplicit.
En vigtig egenskab ved en algebraisk ligning er dens grad. Det er defineret som den højeste potens af de termer, der forekommer i ligningen. Hvis et led består af to eller flere variable, vil summen af eksponenterne for hver variabel blive taget for at være ledts potens. Bemærk, at ifølge denne definition er P(x, y)=0 af grad 5, mens Q(x, y, z)=0 er af grad 5.
Lineære ligninger og ikke-lineære ligninger er en to-partition defineret på sættet af algebraiske ligninger. Graden af ligningen er den faktor, der adskiller dem fra hinanden.
Hvad er en lineær ligning?
En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1. For eksempel er 4x + 5=0 en lineær ligning af én variabel. x + y + 5z=0 og 4x=3w + 5y + 7z er lineære ligninger af henholdsvis 3 og 4 variable. Generelt vil en lineær ligning med n variable have formen m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Her er xi'er de ukendte variable, mi'er og b er reelle tal, hvor hver af mi er ikke-nul.
Sådan en ligning repræsenterer et hyperplan i det n-dimensionelle euklidiske rum. Især repræsenterer en lineær ligning med to variable en ret linje i kartesisk plan, og en lineær ligning med tre variable repræsenterer en plan på euklidisk 3-rum.
Hvad er en ikke-lineær ligning?
En andengradsligning er en algebraisk ligning, som ikke er lineær. Med andre ord er en ikke-lineær ligning en algebraisk ligning på grad 2 eller højere. x2 + 3x + 2=0 er en enkelt variabel ikke-lineær ligning. x2 + y3+ 3xy=4 og 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 er eksempler på ikke-lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variable.
En andengrads ulineær ligning kaldes en andengradsligning. Hvis graden er 3, så kaldes det en kubisk ligning. Grad 4- og grad 5-ligningerne kaldes henholdsvis kvart- og kvintiske ligninger. Det er blevet bevist, at der ikke eksisterer en analytisk metode til at løse nogen ikke-lineær ligning af grad 5, og dette gælder også for enhver højere grad. Opløselige ikke-lineære ligninger repræsenterer hyperflader, der ikke er hyperplaner.
Hvad er forskellen mellem lineær ligning og ikke-lineær ligning?
• En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1, men en ikke-lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 2 eller højere.
• Selvom enhver lineær ligning er analytisk løselig, er det ikke tilfældet i ikke-lineære ligninger.
• I det n-dimensionelle euklidiske rum er løsningsrummet for en n-variabel lineær ligning et hyperplan, mens det for en n-variabel ikke-lineær ligning er en hyperflade, som ikke er en hyperplan. (Quadrics, kubiske overflader osv.)
