Afledt vs integral
Differentiering og integration er to grundlæggende operationer i Calculus. De har talrige anvendelser inden for flere områder, såsom matematik, teknik og fysik. Både afledte og integrale diskuterer adfærden af en funktion eller adfærd hos en fysisk enhed, som vi er interesserede i.
Hvad er afledt?
Antag, at y=ƒ(x) og x0 er i domænet ƒ. Så limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx kaldes den øjeblikkelige ændringshastighed for ƒ ved x0, forudsat at denne grænse eksisterer endeligt. Denne grænse kaldes også den afledede af at og er angivet med ƒ(x).
Værdien af den afledede af en funktion f i et vilkårligt punkt x i funktionens domæne er givet af limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Dette er angivet med et af følgende udtryk: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
For funktioner med flere variable definerer vi partiel afledt. Den partielle afledede af en funktion med flere variable er dens afledede i forhold til en af disse variable, forudsat at de andre variable er konstanter. Symbolet for den partielle afledte er ∂.
Geometrisk kan den afledede af en funktion fortolkes som hældningen af kurven for funktionen ƒ(x).
Hvad er integral?
Integration eller anti-differentiering er den omvendte differentieringsproces. Med andre ord er det processen med at finde en original funktion, når den afledede af funktionen er givet. Derfor kan et integral eller en anti-afledt af en funktion ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) defineres som funktionen F (x), for alle x i domænet af ƒ(x).
Udtrykket ∫ƒ(x) dx angiver den afledte funktion ƒ(x). Hvis ƒ(x)=F (x), så kaldes ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, hvor C er en konstant, ∫ƒ(x) dx kaldes det ubestemte integral af ƒ(x).
For enhver funktion ƒ, som ikke nødvendigvis er ikke-negativ, og defineret på intervallet [a, b], a∫b ƒ(x) dx kaldes det bestemte integral ƒ på [a, b].
Det bestemte integral a∫bƒ(x) dx af en funktion ƒ(x) kan fortolkes geometrisk som arealet af område afgrænset af kurven ƒ(x), x-aksen og linjerne x=a og x=b.
Hvad er forskellen mellem derivat og integral?
• Afledt er resultatet af procesdifferentieringen, mens integral er resultatet af procesintegrationen.
• Afledte af en funktion repræsenterer kurvens hældning på ethvert givet punkt, mens integral repræsenterer arealet under kurven.
