Forskellen mellem Riemann Integral og Lebesgue Integral

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integration er et hovedemne i calculus. I bredere forstand kan integration ses som den omvendte differentieringsproces. Når man modellerer problemer i den virkelige verden, er det let at skrive udtryk, der involverer afledte. I en sådan situation er integrationsoperationen påkrævet for at finde den funktion, som gav den bestemte afledte.

Fra en anden vinkel er integration en proces, som opsummerer produktet af en funktion ƒ(x) og δx, hvor δx har en tendens til at være en vis grænse. Det er derfor, vi bruger integrationssymbolet som ∫. Symbolet ∫ er faktisk det, vi opnår ved at strække bogstavet s for at referere til sum.

Riemann Integral

Betragt en funktion y=ƒ(x). Integralet af y mellem a og b, hvor a og b hører til en mængde x, skrives som _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Dette kaldes et bestemt integral af den enkelte værdi og kontinuerte funktion y=ƒ(x) mellem a og b. Dette giver arealet under kurven mellem a og b. Dette kaldes også Riemann integral. Riemann integral blev skabt af Bernhard Riemann. Riemann-integralet af en kontinuert funktion er baseret på Jordan-målet, derfor er det også defineret som grænsen for Riemann-summen af funktionen. For en funktion med reel værdi defineret på et lukket interval, Riemann-integralet af funktionen i forhold til en partition x₁, x₂, …, x n _{defineret på intervallet [a, b] og t}1_{, t}2_{, …, t n}, hvor x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 for hver i ε {1, 2, …, n}, Riemann sum er defineret som Σ_{i=o til n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue er en anden type integral, som dækker en lang række tilfælde, end Riemann-integral gør. Lebesgue-integralet blev introduceret af Henri Lebesgue i 1902. Legesgue-integration kan betragtes som en generalisering af Riemann-integrationen.

Hvorfor skal vi studere et andet integral?

Lad os overveje den karakteristiske funktion ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x not ε A}^{1 if, x ε A}på en mængde A. Derefter finit lineær kombination af karakteristiske funktioner, som er defineret som F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) kaldes den simple funktion, hvis E} i _{er målbar for hver i. Lebesgue-integralet af F (x) over E er angivet med} E_{∫ ƒ(x)dx. Funktionen F (x) er ikke Riemann-integrerbar. Derfor er Lebesgue-integral omformulering af Riemann-integral, som har nogle begrænsninger for de funktioner, der skal integreres.}

Hvad er forskellen mellem Riemann Integral og Lebesgue Integral?

· Lebesgue-integralet er en generaliseringsform af Riemann-integralet.

· Lebesgue-integralet tillader en tællig uendelighed af diskontinuiteter, mens Riemann-integralet tillader et endeligt antal diskontinuiteter.