Forskellen mellem Bernoulli og Binomial

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Bernoulli vs Binomial

Meget ofte i det virkelige liv støder vi på begivenheder, som kun har to udfald, der betyder noget. For eksempel består vi enten en jobsamtale, som vi stod over for, eller fejler den samtale, enten afgår vores fly til tiden, eller det er forsinket. I alle disse situationer kan vi anvende sandsynlighedsbegrebet 'Bernoulli-forsøg'.

Bernoulli

Et tilfældigt eksperiment med kun to mulige udfald med sandsynlighed p og q; hvor p+q=1, kaldes Bernoulli-processer til ære for James Bernoulli (1654-1705). Oftest siges de to resultater af eksperimentet at være "Succes" eller "Fejl".

For eksempel, hvis vi overvejer at kaste en mønt, er der to mulige udfald, som siges at være 'hoved' eller 'hale'. Hvis vi er interesseret i hovedet til at falde; sandsynligheden for succes er 1/2, hvilket kan betegnes som P (succes)=1/2, og sandsynligheden for fiasko er 1/2. På samme måde, når vi kaster to terninger, hvis vi kun er interesseret i, at summen af to terninger er 8, P (Succes)=5/36 og P (fiasko)=1- 5/36=31/36.

En Bernoulli-proces er en forekomst af en sekvens af Bernoulli-forsøg uafhængigt; derfor forbliver sandsynligheden for succes den samme for hvert forsøg. Derudover er sandsynligheden for fiasko for hvert forsøg 1-P(succes).

Da de individuelle spor er uafhængige, kan sandsynligheden for en begivenhed i en Bernoulli-proces beregnes ved at tage produktet af sandsynligheder for succes og fiasko. For et eksempel, hvis sandsynligheden for succes [P(S)] er angivet med p og sandsynligheden for fiasko [P (F)] er angivet med q; derefter P(SSSF)=p³q og P(FFSS)=p²q²

Binomial

Bernoulli-forsøg fører til binomialfordeling. Ved de fleste lejligheder bliver folk forvekslet med de to udtryk 'Bernoulli' og 'Binomial'. Binomialfordeling er en sum af uafhængige og jævnt fordelte Bernoulli-forsøg. Binomial fordeling er angivet med notationen b(k;n, p); b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, hvor C(n, k) er kendt som den binomiale koefficient. Binomialkoefficienten C(n, k) kan beregnes ved at bruge formlen n!/k!(n-k)!.}

For eksempel, hvis et øjeblikkeligt lotteri med 25 % vinderkuponer sælges blandt 10 personer, er sandsynligheden for at købe en vinderkupon b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0,75)^{9 ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169}

Hvad er forskellen mellem Bernoulli og Binomial?

• Bernoulli-forsøg er et tilfældigt eksperiment med kun to mulige udfald.
• Binomialeksperiment er en sekvens af Bernoulli-forsøg, der udføres uafhængigt.