Forskellen mellem binomial- og normalfordeling

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Binomial vs normalfordeling

Sandsynlighedsfordelinger af tilfældige variable spiller en vigtig rolle inden for statistik. Ud af disse sandsynlighedsfordelinger er binomialfordeling og normalfordeling to af de mest almindeligt forekommende i det virkelige liv.

Hvad er binomialfordeling?

Binomialfordeling er sandsynlighedsfordelingen svarende til den stokastiske variabel X, som er antallet af succeser for en endelig sekvens af uafhængige ja/nej-eksperimenter, som hver har en sandsynlighed for succes p. Fra definitionen af X er det tydeligt, at det er en diskret stokastisk variabel; derfor er binomialfordeling også diskret.

Fordelingen er angivet som X ~ B (n, p), hvor n er antallet af eksperimenter og p er sandsynligheden for succes. Ifølge sandsynlighedsteorien kan vi udlede, at B (n, p) følger sandsynlighedsmassefunktionen [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Ud fra denne ligning kan det yderligere udledes, at den forventede værdi af X, E(X)=np og variansen af X, V(X)=np (1- p).

Overvej for eksempel et tilfældigt eksperiment med at kaste en mønt 3 gange. Definer succes som at opnå H, fiasko som at opnå T og den stokastiske variabel X som antallet af succeser i eksperimentet. Derefter X ~ B (3, 0,5) og sandsynlighedsmassefunktionen af X givet ved [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Derfor er sandsynligheden for at opnå mindst 2 H'er P(X ≥ 2)=P (X=2 eller X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Hvad er normalfordeling?

Normalfordeling er den kontinuerlige sandsynlighedsfordeling defineret af sandsynlighedsdensitetsfunktionen, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametrene [latex] \mu og \\sigma [/latex] angiver middelværdien og standardafvigelsen for populationen af interesse. Når [latex] \mu=0 og \\sigma=1 [/latex] kaldes fordelingen standardnormalfordelingen.

Denne fordeling kaldes normal, da de fleste af de naturlige fænomener følger normalfordelingen. For eksempel er den menneskelige befolknings IQ normalfordelt. Som det ses af grafen, er den unimodal, symmetrisk omkring middelværdien og den klokkeformede. Middelværdien, tilstanden og medianen er sammenfaldende. Arealet under kurven svarer til den del af befolkningen, der opfylder en given betingelse.

Andelene af populationen i intervallet [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] er ca. 68,2%, 95,6% og 99,8% hhv.

Hvad er forskellen mellem binomial- og normalfordelinger?

• Binomialfordeling er en diskret sandsynlighedsfordeling, hvorimod normalfordelingen er en kontinuerlig.
• Sandsynlighedsmassefunktionen for binomialfordelingen er [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], hvorimod sandsynlighedstæthedsfunktionen for normalfordelingen er [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomialfordeling er tilnærmet med normalfordeling under visse forhold, men ikke omvendt.