Parallelogram vs Quadrilateral
Firekanter og parallelogrammer er polygoner, der findes i euklidisk geometri. Parallelogram er et speci altilfælde af firkanten. Firkanter kan være enten plane (2D) eller 3 dimensionelle, mens parallelogrammer altid er plane.
Firesidet
Firesidet er en polygon med fire sider. Den har fire hjørner, og summen af de indre vinkler er 3600 (2π rad). Firkanter er klassificeret i selvskærende og simple firkantede kategorier. De selvskærende firkanter har to eller flere sider, der krydser hinanden, og mindre geometriske figurer (såsom trekanter dannes inde i firkanten).
De simple firkanter er også opdelt i konvekse og konkave firkanter. Konkave firkanter har tilstødende sider, der danner refleksvinkler inde i figuren. De simple firkanter, der ikke har refleksvinkler indvendigt, er konvekse firkanter. De konvekse firkanter kan altid have tesseller.
En stor del af geometrien af firkanter på de indledende niveauer vedrører de konvekse firkanter. Nogle firkanter er meget velkendte for os fra folkeskolernes dage. Følgende er et diagram, der viser forskellige konvekse firkanter.
Parallelogram
Parallelogram kan defineres som den geometriske figur med fire sider, med modsatte sider parallelle med hinanden. Mere præcist er det en firkant med to par parallelle sider. Denne parallelle natur giver mange geometriske karakteristika til parallelogrammerne.
En firkant er et parallelogram, hvis der findes følgende geometriske karakteristika.
• To par modstående sider er lige lange. (AB=DC, AD=BC)
• To par modstående vinkler er lige store. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Hvis de tilstødende vinkler er supplerende [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Et par sider, som er modsat hinanden, er parallelle og lige lange. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalerne halverer hinanden (AO=OC, BO=OD)
• Hver diagonal deler firkanten i to kongruente trekanter. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Yderligere er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne af diagonaler. Dette omtales nogle gange som parallelogramloven og har udbredte anvendelser inden for fysik og teknik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Hver af ovenstående karakteristika kan bruges som egenskaber, når det er fastslået, at firkanten er et parallelogram.
Areal af parallelogrammet kan beregnes ved produktet af længden af den ene side og højden til den modsatte side. Derfor kan areal af parallelogrammet angives som
Areal af parallelogram=basis × højde=AB×h
Arealet af parallelogrammet er uafhængigt af formen på det individuelle parallelogram. Det afhænger kun af længden af basen og den vinkelrette højde.
Hvis siderne af et parallelogram kan repræsenteres af to vektorer, kan arealet opnås ved størrelsen af vektorproduktet (krydsprodukt) af de to tilstødende vektorer.
Hvis siderne AB og AD er repræsenteret ved henholdsvis vektorerne ([latex]\overhøjrepil{AB}[/latex]) og ([latex]\overhøjrepil{AD}[/latex]), arealet af parallelogram er givet af [latex]\venstre | \overrightarrow{AB}\ gange \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], hvor α er vinklen mellem [latex]\overhøjrepil{AB}[/latex] og [latex]\overhøjrepil{AD}[/latex].
Følgende er nogle avancerede egenskaber ved parallelogrammet;
• Arealet af et parallelogram er dobbelt så stort som arealet af en trekant skabt af en hvilken som helst af dens diagonaler.
• Parallelogrammets areal er delt i to af en linje, der går gennem midtpunktet.
• Enhver ikke-degenereret affin transformation tager et parallelogram til et andet parallelogram
• Et parallelogram har rotationssymmetri af orden 2
• Summen af afstandene fra ethvert indre punkt i et parallelogram til siderne er uafhængig af punktets placering
Hvad er forskellen mellem Parallelogram og Quadrilateral?
• Firkanter er polygoner med fire sider (nogle gange kaldet tetragoner), mens parallelogram er en speciel type af en firkant.
• Firkanter kan have deres sider i forskellige planer (i 3d-rum), mens alle sider af parallelogrammet ligger på samme plan (plan/ 2dimensional).
• Indvendige vinkler af firkanten kan have en hvilken som helst værdi (inklusive refleksvinkler), således at de summeres til 3600. Parallelogrammer kan kun have stumpe vinkler som den maksimale vinkeltype.
• Fire sider af firkanten kan være af forskellig længde, mens de modsatte sider af parallelogrammet altid er parallelle med hinanden og lige lange.
• Enhver diagonal opdeler parallelogrammet i to kongruente trekanter, mens trekanter dannet af diagonalen af en generel firkant ikke nødvendigvis er kongruente.
