Parallelogram vs rektangel
Parallelogram og rektangel er firkanter. Geometrien af disse figurer var kendt af mennesket i tusinder af år. Emnet er eksplicit behandlet i bogen "Elementer" skrevet af den græske matematiker Euclid.
Parallelogram
Parallelogram kan defineres som den geometriske figur med fire sider, med modsatte sider parallelle med hinanden. Mere præcist er det en firkant med to par parallelle sider. Denne parallelle natur giver mange geometriske karakteristika til parallelogrammerne.
En firkant er et parallelogram, hvis der findes følgende geometriske karakteristika.
• To par modstående sider er lige lange. (AB=DC, AD=BC)
• To par modstående vinkler er lige store. ([latex]D\hat{A}B=B\hat{C}D, A\hat{D}C=A\hat{B}C[/latex])
• Hvis de tilstødende vinkler er supplerende [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Et par sider, som er modsat hinanden, er parallelle og lige lange. (AB=DC & AB∥DC)
• Diagonalerne halverer hinanden (AO=OC, BO=OD)
• Hver diagonal deler firkanten i to kongruente trekanter. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Yderligere er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne af diagonaler. Dette omtales nogle gange som parallelogramloven og har udbredte anvendelser inden for fysik og teknik. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Hver af ovenstående karakteristika kan bruges som egenskaber, når det er fastslået, at firkanten er et parallelogram.
Areal af parallelogrammet kan beregnes ved produktet af længden af den ene side og højden til den modsatte side. Derfor kan areal af parallelogrammet angives som
Areal af parallelogram=basis × højde=AB×h
Arealet af parallelogrammet er uafhængigt af formen på det individuelle parallelogram. Det afhænger kun af længden af basen og den vinkelrette højde.
Hvis siderne af et parallelogram kan repræsenteres af to vektorer, kan arealet opnås ved størrelsen af vektorproduktet (krydsprodukt) af de to tilstødende vektorer.
Hvis siderne AB og AD er repræsenteret ved henholdsvis vektorerne ([latex]\overhøjrepil{AB}[/latex]) og ([latex]\overhøjrepil{AD}[/latex]), arealet af parallelogram er givet af [latex]\venstre | \overrightarrow{AB}\ gange \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], hvor α er vinklen mellem [latex]\overhøjrepil{AB}[/latex] og [latex]\overhøjrepil{AD}[/latex].
Følgende er nogle avancerede egenskaber ved parallelogrammet;
• Arealet af et parallelogram er dobbelt så stort som arealet af en trekant skabt af en hvilken som helst af dens diagonaler.
• Parallelogrammets areal er delt i to af en linje, der går gennem midtpunktet.
• Enhver ikke-degenereret affin transformation tager et parallelogram til et andet parallelogram
• Et parallelogram har rotationssymmetri af orden 2
• Summen af afstandene fra ethvert indre punkt i et parallelogram til siderne er uafhængig af punktets placering
Rektangel
En firkant med fire rette vinkler er kendt som et rektangel. Det er et speci altilfælde af parallelogrammet, hvor vinklerne mellem to tilstødende sider er rette vinkler.
Ud over alle egenskaberne ved et parallelogram kan yderligere karakteristika genkendes, når man betragter rektanglets geometri.
• Hver vinkel ved toppunkterne er en ret vinkel.
• Diagonalerne er lige lange, og de halverer hinanden. Derfor er de halverede sektioner også lige lange.
• Længden af diagonalerne kan beregnes ved hjælp af Pythagoras' sætning:
PQ2 + PS2 =SQ2
• Arealformlen reduceres til produktet af længde og bredde.
Areal af rektangel=længde × bredde
• Mange symmetriske egenskaber findes på et rektangel, såsom;
– Et rektangel er cyklisk, hvor alle toppunkter kan placeres på omkredsen af en cirkel.
– Det er ensvinklet, hvor alle vinklerne er lige store.
– Den er isogonal, hvor alle hjørner ligger inden for den samme symmetribane.
– Den har både reflektionssymmetri og rotationssymmetri.
Hvad er forskellen mellem parallelogram og rektangel?
• Parallelogram og rektangel er firkanter. Rektangel er et speci altilfælde af parallelogrammerne.
• Arealet af enhver kan beregnes ved hjælp af formlen base ×højde.
• Diagonalerne i betragtning;
– Parallelogrammets diagonaler halverer hinanden, og halverer parallelogrammet for at danne to kongruente trekanter.
– Diagonalerne i rektanglet er lige lange og halverer hinanden; halverede sektioner er lige lange. Diagonalerne halverer rektanglet i to kongruente retvinklede trekanter.
• I betragtning af de indre vinkler;
– Modstående indre vinkler af parallelogrammet er lige store. To tilstødende indvendige vinkler er supplerende
– Alle fire indre vinkler i rektanglet er rette vinkler.
• I betragtning af siderne;
– I et parallelogram er summen af kvadraterne på siderne lig med summen af kvadraterne på diagonalen (parallelogramloven)
– I rektangler er summen af kvadraterne på de to tilstødende sider lig med kvadratet på diagonalen i enderne. (Pythagoras' regel)
