Afvigelse vs standardafvigelse
Afvigelse vs standardafvigelse
I beskrivende og inferentielle statistikker bruges flere indekser til at beskrive et datasæt svarende til dets centrale tendens, spredning og skævhed. I statistisk inferens er disse almindeligvis kendt som estimatorer, da de estimerer populationsparameterværdierne.
Spredning er et mål for spredningen af data omkring midten af datasættet. Standardafvigelse er et af de mest almindeligt anvendte mål for spredning. Hvert datapunkts afvigelser fra middelværdien tages i betragtning ved beregning af standardafvigelsen. Derfor kan man argumentere for, at standardafvigelsen sammen med middelværdien vil give et næsten tilstrækkeligt billede af et datasæt.
Overvej følgende datasæt. Vægten af 10 personer (i kilogram) er målt til at være 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 og 79. Så er gennemsnitsvægten af de ti personer (i kilogram) 71 (i kilogram).).
Hvad er afvigelse?
I statistik betyder afvigelse den mængde, hvormed et enkelt datapunkt adskiller sig fra en fast værdi, såsom middelværdien. Lad k generelt være en fast værdi og x1, x2, …, xn betegne en data sæt. Derefter defineres afvigelsen af xj fra k til (xj– k).
For eksempel, i ovenstående datasæt er de respektive afvigelser fra middelværdien (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 og (79 – 71)=8, Hvad er standardafvigelse?
Når data fra hele befolkningen kan tages i betragtning (f.eks. i tilfælde af en folketælling), er det muligt at beregne befolkningens standardafvigelse. For at beregne standardafvigelsen for populationen beregnes først afvigelserne af dataværdier fra populationens middelværdi. Den kvadratiske middelværdi af afvigelser kaldes populationens standardafvigelse. I symboler er σ=√{ ∑(xi-µ)2 / n} hvor µ er populationens middelværdi og n er populationsstørrelsen.
Når data fra en stikprøve (på størrelse n) bruges til at estimere parametre for populationen, beregnes prøvens standardafvigelse. Først beregnes dataværdiernes afvigelser fra prøvegennemsnittet. Da stikprøvegennemsnittet bruges i stedet for populationsgennemsnittet (som er ukendt), er det ikke passende at tage den kvadratiske middelværdi. For at kompensere for brugen af stikprøvegennemsnittet divideres summen af kvadrater af afvigelser med (n-1) i stedet for n. Prøvens standardafvigelse er kvadratroden af dette. I matematiske symboler er S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, hvor S er prøvens standardafvigelse, ẍ er prøvegennemsnittet, og xi'er er datapunkterne.
I det forrige datasæt er summen af kvadrater af afvigelse (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 12 + 92 + (-1) 2 + (-8)2 + 12 + 62 + 82=366. Således er populationens standardafvigelse √(366/10)=6,05 (i kilogram). (Forudsat at den pågældende befolkning består af de 10 personer, som dataene er taget fra).
Hvad er forskellen mellem afvigelse og standardafvigelse?
• Standardafvigelse er et statistisk indeks og en estimator, men afvigelse er det ikke.
• Standardafvigelse er et mål for spredning af en klynge af data fra midten, hvorimod afvigelse refererer til den mængde, hvormed et enkelt datapunkt adskiller sig fra en fast værdi.
