tilfældige variable vs sandsynlighedsfordeling
Statistiske eksperimenter er tilfældige eksperimenter, der kan gentages i det uendelige med et kendt sæt af resultater. Både tilfældige variable og sandsynlighedsfordelinger er forbundet med sådanne eksperimenter. For hver tilfældig variabel er der en tilknyttet sandsynlighedsfordeling defineret af en funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion.
Hvad er en tilfældig variabel?
En tilfældig variabel er en funktion, der tildeler numeriske værdier til resultaterne af et statistisk eksperiment. Med andre ord er det en funktion defineret fra stikprøverummet af et statistisk eksperiment ind i mængden af reelle tal.
Overvej for eksempel et tilfældigt eksperiment med at vende en mønt to gange. De mulige udfald er HH, HT, TH og TT (H – hoveder, T – fortællinger). Lad variablen X være antallet af hoveder observeret i eksperimentet. Så kan X tage værdierne 0, 1 eller 2, og det er en tilfældig variabel. Her vil den stokastiske variabel X kortlægge mængden S={HH, HT, TH, TT} (eksempelrummet) til sættet {0, 1, 2} på en sådan måde, at HH afbildes til 2, HT og TH afbildes til 1 og TT afbildes til 0. I funktionsnotation kan dette skrives som, X: S → R hvor X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 og X(TT)=0.
Der er to typer af tilfældige variable: diskrete og kontinuerte, således at antallet af mulige værdier, en tilfældig variabel kan antage, højst kan tælles eller ej. I det foregående eksempel er den tilfældige variabel X en diskret tilfældig variabel, da {0, 1, 2} er en endelig mængde. Overvej nu det statistiske eksperiment med at finde vægten af elever i en klasse. Lad Y være den stokastiske variabel defineret som vægten af en elev. Y kan tage enhver reel værdi inden for et bestemt interval. Y er derfor en kontinuert tilfældig variabel.
Hvad er en sandsynlighedsfordeling?
Sandsynlighedsfordeling er en funktion, der beskriver sandsynligheden for, at en stokastisk variabel tager bestemte værdier.
En funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion (F) kan defineres fra mængden af reelle tal til mængden af reelle tal som F(x)=P(X ≤ x) (sandsynligheden for, at X er mindre end eller lig med x) for hvert muligt udfald x. Nu kan den kumulative fordelingsfunktion af X i det første eksempel skrives som F(a)=0, hvis a<0; F(a)=0,25, hvis 0≤a<1; F(a)=0,75, hvis 1≤a<2 og F(a)=1, hvis a≥2.
I tilfælde af diskrete stokastiske variable kan en funktion defineres fra mængden af mulige udfald til mængden af reelle tal på en sådan måde, at ƒ(x)=P(X=x) (sandsynligheden for X er lig med x) for hvert muligt udfald x. Denne særlige funktion ƒ kaldes sandsynlighedsmassefunktionen af den stokastiske variabel X. Nu kan sandsynlighedsmassefunktionen af X i det første særlige eksempel skrives som ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 og ƒ(x)=0 ellers. Således vil sandsynlighedsmassefunktionen sammen med den kumulative fordelingsfunktion beskrive sandsynlighedsfordelingen af X i det første eksempel.
I tilfælde af kontinuerte stokastiske variable kan en funktion kaldet sandsynlighedsdensitetsfunktionen (ƒ) defineres som ƒ(x)=dF(x)/dx for hver x, hvor F er den kumulative fordelingsfunktion af kontinuert tilfældig variabel. Det er let at se, at denne funktion opfylder ∫ƒ(x)dx=1. Sandsynlighedstæthedsfunktionen sammen med den kumulative fordelingsfunktion beskriver sandsynlighedsfordelingen af en kontinuert stokastisk variabel. For eksempel beskrives normalfordelingen (som er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling) ved hjælp af sandsynlighedstæthedsfunktionen ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) µ)]2/(2σ2)).
Hvad er forskellen mellem tilfældige variable og sandsynlighedsfordeling?
• Tilfældig variabel er en funktion, der knytter værdier af et eksempelrum til et reelt tal.
• Sandsynlighedsfordeling er en funktion, der knytter værdier, som en stokastisk variabel kan tage, til den respektive sandsynlighed for forekomst.
