Cardinal vs Ordinal
I vores daglige liv kan brugen af tal antage forskellige former i forskellige situationer. For eksempel, når vi tæller for at finde ud af størrelsen af en samling af objekter, tæller vi dem som en, to, tre og så videre. Når vi vil tælle noget for at få fornemmelsen af objekternes position, tæller vi dem som første, anden, tredje og så videre. I den første form for optælling siges tal at være kardin altal. I den anden form for optælling betragtes tallene som ordenstal. I denne sammenhæng er begreberne kardinal og ordinal fuldstændig et spørgsmål om sprogvidenskab; kardinal og ordinal er adjektiver.
Udvidelsen af begrebet til mængder i matematik afslører imidlertid et meget dybere og bredere perspektiv og kan ikke behandles i enkle vendinger. I denne artikel vil vi forsøge at forstå de grundlæggende begreber for kardinal- og ordenstal i matematik.
Formelle definitioner af kardinal- og ordenstal findes i mængdeteorien. Definitionerne er indviklede, og for at forstå dem i perfekt forstand kræver det baggrundsviden i mængdeteori. Derfor vil vi vende os mod et par eksempler for at forstå begreberne heuristisk.
Overvej de to sæt {1, 3, 6, 4, 5, 2} og {bus, bil, færge, tog, flyvemaskine, helikopter}. Hvert sæt lister et sæt af elementer, og hvis vi tæller antallet af elementer, er det tydeligt, at hvert sæt har det samme antal elementer, hvilket er 6. Når vi nåede frem til denne konklusion, har vi taget størrelsen af et sæt og sammenlignet med et andet ved hjælp af en nummer. Et sådant nummer kaldes et kardinalnummer. Derfor kan vi sige, at et kardin altal er et tal, vi kan bruge til at sammenligne størrelsen af de endelige mængder.
Igen kan det første sæt tal arrangeres i stigende rækkefølge under hensyntagen til størrelsen af hvert element og sammenligne dem. I bestillingsprocessen betragtes numrene som kardinaler. Ligeledes kan sættet af alle ikke-negative heltal ordnes i et sæt; dvs. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Men i dette tilfælde bliver størrelsen af sættet uendelig, og det er ikke muligt at give det i form af ordtal. Uanset hvor stort et tal du vælger for at angive størrelsen af sættet, vil der stadig være tal udeladt af det sæt, du vælger, og som er ikke-negative heltal.
Derfor definerer matematikere denne uendelige kardinal (som er den første) som Aleph-0, skrevet som א (første bogstav i det hebraiske alfabet). Formelt er ordenstallet ordretypen for et velordnet sæt. Derfor kan ordenstallet for de endelige mængder gives ved kardin altal, men for uendelige mængder er ordenstallet givet ved transfinite tal såsom Aleph-0.
Hvad er forskellen mellem kardinal- og ordenstal?
• Kardin altallet er et tal, der kan bruges til at tælle eller til at angive størrelsen af et endeligt ordnet sæt. Alle kardin altal er ordenstal.
• Ordin altallene er tal, der bruges til at angive størrelsen af både endelige og uendeligt ordnede mængder. Størrelsen af de endeligt ordnede mængder er givet ved sædvanlige hindu-arabiske algebraiske tal, og den uendelige mængdestørrelse er givet ved transfinite tal.
