Hyperbola vs Ellipse
Når en kegle skæres i forskellige vinkler, markeres forskellige kurver af keglens kant. Disse kurver kaldes ofte keglesnittene. Mere præcist er et keglesnit en kurve opnået ved at skære en ret cirkulær kegleflade med en plan overflade. Ved forskellige skæringsvinkler er der givet forskellige keglesnit.
Både hyperbel og ellipse er keglesnit, og deres forskelle kan let sammenlignes i denne sammenhæng.
Mere om Ellipse
Når skæringspunktet mellem den koniske overflade og den plane overflade frembringer en lukket kurve, er det kendt som en ellipse. Den har en excentricitet mellem nul og én (0<e<1). Det kan også defineres som stedet for sættet af punkter på et plan, således at summen af afstandene til punktet fra to faste punkter forbliver konstant. Disse to fikspunkter er kendt som 'foci'. (Husk; i elementære matematiktimer tegnes ellipserne ved hjælp af en snor bundet til to faste stifter, eller en snorløkke og to stifter.)
Linjestykket, der passerer gennem brændpunkterne, er kendt som hovedaksen, og aksen vinkelret på hovedaksen og passerer gennem midten af ellipsen er kendt som den lille akse. Diametrene langs hver akse er kendt som henholdsvis den tværgående diameter og den konjugerede diameter. Halvdelen af hovedaksen er kendt som den semi-major akse, og halvdelen af den lille akse er kendt som semi-minor aksen.
Hvert punkt F1 og F2 er kendt som brændpunkterne for ellipsen og længderne F1 + PF2 =2a, hvor P er et vilkårligt punkt på ellipsen. Excentricitet e er defineret som forholdet mellem afstanden fra et fokus til det vilkårlige punkt (PF 2) og den vinkelrette afstand til det vilkårlige punkt fra directrix (PD). Den er også lig med afstanden mellem de to brændpunkter og semi-hovedaksen: e=PF/PD=f/a
Den generelle ligning for ellipsen, når semi-hovedaksen og semi-molaksen falder sammen med de kartesiske akser, er givet som følger.
x2/a2 + y2/b2=1
Ellipsens geometri har mange anvendelser, især inden for fysik. Planeternes baner i solsystemet er elliptiske med solen som ét fokus. Reflekserne til antenner og akustiske enheder er lavet i elliptisk form for at udnytte det faktum, at enhver emission fra et fokus vil konvergere til det andet fokus.
Mere om Hyperbola
Hyperbelen er også et keglesnit, men det er åbent. Udtrykket hyperbel refererer til de to afbrudte kurver vist på figuren. I stedet for at lukke som en ellipse fortsætter armene eller grenene af hyperbelen til det uendelige.
De punkter, hvor de to grene har den korteste afstand mellem dem, er kendt som hjørnerne. Linjen, der går gennem hjørnerne, betragtes som hovedaksen eller den tværgående akse, og den er en af hyperbelens hovedakser. De to foci af parablen ligger også på hovedaksen. Midtpunktet af linjen mellem de to toppunkter er centrum, og længden af linjestykket er halvhovedaksen. Den vinkelrette halveringslinje af halvhovedaksen er den anden hovedakse, og hyperbelens to kurver er symmetriske omkring denne akse. Parablens excentricitet er større end én; e > 1.
Hvis hovedakserne falder sammen med de kartesiske akser, har hyperbelens generelle ligning formen:
x2/a2 – y2/b2=1,
hvor a er den semi-hovedakse, og b er afstanden fra midten til begge fokus.
Hyperblerne med åbne ender vendt mod x-aksen er kendt som øst-vest-hyperblerne. Lignende hyperbler kan også opnås på y-aksen. Disse er kendt som y-aksehyperblerne. Ligningen for sådanne hyperbler har formen
y2/a2 – x2/b2=1
Hvad er forskellen mellem Hyperbola og Ellipse?
• Både ellipser og hyperbel er keglesnit, men ellipsen er en lukket kurve, mens hyperbelen består af to åbne kurver.
• Derfor har ellipsen en begrænset omkreds, men hyperbelen har en uendelig længde.
• Begge er symmetriske omkring deres store og lille akse, men placeringen af dirrix er forskellig i hvert tilfælde. I ellipsen ligger den uden for halv-hovedaksen, mens den i hyperbel ligger i halv-hovedaksen.
• Excentriciteterne af de to keglesnit er forskellige.
0 <eEllipse < 1
eHyperbola > 0
• Den generelle ligning for de to kurver ser ens ud, men de er forskellige.
• Halveringsvinkel på hovedaksen skærer kurven i ellipsen, men ikke i hyperbelen.
(Billedkilde: Wikipedia)
