Afledt vs differential
I differentialregning er afledet og differential af en funktion nært beslægtede, men har meget forskellige betydninger og bruges til at repræsentere to vigtige matematiske objekter relateret til differentierbare funktioner.
Hvad er afledt?
Afledt af en funktion måler den hastighed, hvormed funktionsværdien ændres, når dens input ændres. I multi-variable funktioner afhænger ændringen i funktionsværdien af retningen af ændringen af værdierne af de uafhængige variable. Derfor vælges i sådanne tilfælde en bestemt retning, og funktionen differentieres i den pågældende retning. Den afledede kaldes den retningsbestemte afledte. Partielle afledte er en særlig slags retningsbestemte afledte.
Afledt af en vektorvurderet funktion f kan defineres som grænsen [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] hvor end det eksisterer endeligt. Som nævnt før giver dette os stigningshastigheden for funktionen f i retningen af vektoren u. I tilfælde af en enkeltværdifunktion reduceres dette til den velkendte definition af den afledede, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
For eksempel kan [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] differentieres over alt, og den afledede er lig med grænsen, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], hvilket er lig med [latex]3x^{2}+4[/latex]. Afledte funktioner som [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] findes over alt. De er henholdsvis lig med funktionerne [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dette er kendt som den første afledte. Norm alt er den første afledede af funktion f betegnet med f (1) Nu ved at bruge denne notation, er det muligt at definere højere ordens afledte. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] er andenordens retningsafledte, og angiver n th afledte med f (n) for hver n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definerer n th afledt.
Hvad er differential?
Differentieret for en funktion repræsenterer ændringen i funktionen med hensyn til ændringer i den eller de uafhængige variabler. I den sædvanlige notation, for en given funktion f af en enkelt variabel x, er den totale differential af orden 1 df givet ved, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Det betyder, at for en uendelig lille ændring i x (dvs. d x), vil der være en f (1)(x)d x ændring i f.
Ved at bruge grænser kan man ende med denne definition som følger. Antag, at ∆ x er ændringen i x i et vilkårligt punkt x, og ∆ f er den tilsvarende ændring i funktionen f. Det kan vises, at ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, hvor ϵ er fejlen. Nu er grænsen ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x)) (ved at bruge den tidligere angivne definition af afledt) og dermed ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Derfor er det muligt at konkluder, at ∆ x→ 0 ϵ=0. Nu, der angiver ∆ x→ 0 ∆ f som d f og ∆ x→ 0 ∆ x som d x, er definitionen af differentialet nøje opnået.
For eksempel er differentialet for funktionen [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
Hvis der er tale om funktioner af to eller flere variable, defineres den samlede differential for en funktion som summen af differentialer i retningerne af hver af de uafhængige variable. Matematisk kan det angives som [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Hvad er forskellen mellem derivat og differential?
• Afledt refererer til en funktions ændringshastighed, hvorimod differentialet refererer til den faktiske ændring af funktionen, når den uafhængige variabel udsættes for ændring.
• Den afledte er givet af [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], men differensen er givet ved [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
