Power Series vs Taylor Series
I matematik er en reel sekvens en ordnet liste over reelle tal. Formelt er det en funktion fra mængden af naturlige tal ind til mængden af reelle tal. Hvis an er det nth led i en sekvens, betegner vi sekvensen med eller med et 1, a 2, …, an, …. Overvej f.eks. rækkefølgen 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Det kan betegnes som {1/n}.
Det er muligt at definere en serie ved hjælp af sekvenser. En række er summen af led i en sekvens. Derfor er der for hver sekvens en tilknyttet sekvens og omvendt. Hvis {an} er den sekvens, der overvejes, kan serien, der dannes af den sekvens, repræsenteres som:
I ovenstående eksempel er den tilknyttede serie således 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Som navnene antyder, er potensrækken en speciel type serie, og den bruges i vid udstrækning i Numerisk analyse og relateret matematisk modellering. Taylor-serien er en speciel power-serie, der giver en alternativ og nem at manipulere måde at repræsentere velkendte funktioner på.
Hvad er Power-serien?
En power-serie er en serie af formen
som er konvergent (muligvis) for et eller andet interval centreret ved c. Koefficienterne ankan være reelle eller komplekse tal og er uafhængige af x; dvs. dummy-variablen.
For eksempel ved at indstille an=1 for hver n, og c=0, kan potensrækken 1+x+x2 +…..+ x+… opnås. Det er let at observere, at når x ε (-1, 1), konvergerer denne potensrække til 1/(1-x).
En potensrække konvergerer, når x=c. De andre værdier af x, for hvilke potensrækken konvergerer, vil altid have form af et åbent interval centreret ved c. Det vil sige, at der vil være en værdi 0≤ R ≤ ∞ sådan, at for hver x, der opfylder |x-c|≤ R, er potensrækken konvergent, og for hver x, der opfylder |x-c|> R, er potensrækken divergent. Denne værdi R kaldes konvergensradius for potensrækken (R kan tage enhver reel værdi eller positiv uendelighed).
Power-serier kan tilføjes, trækkes fra, ganges og divideres ved at bruge følgende regler. Overvej de to power-serier:
Så,
dvs. lignende udtryk lægges sammen eller trækkes fra. Det er også muligt at gange og dividere de to potensrækker ved hjælp af identiteten
Hvad er Taylor-serien?
Taylor-serien er defineret for en funktion f (x), der er uendeligt differentiabel på et interval. Antag at f (x) er differentierbar på et interval centreret ved c. Derefter potensrækken, som er givet af
kaldes Taylor-seriens udvidelse af funktionen f (x) omkring c. (Her betegner f(n) (c) den nth afledte ved x=c). I Numerisk analyse bruges et begrænset antal led i denne uendelige udvidelse til at beregne værdier på punkter, hvor rækken er konvergent til den oprindelige funktion.
En funktion f (x) siges at være analytisk i intervallet (a, b), hvis Taylor-rækken af f (x) for hver x ε (a, b) konvergerer til funktionen f (x). For eksempel er 1/(1-x) analytisk på (-1, 1), da dens Taylor-udvidelse 1+x+x2+….+ x +… konvergerer til funktionen på det interval, og ex er analytisk over alt, da Taylor-serien af ex konvergerer til e x for hvert reelt tal x.
Hvad er forskellen mellem Power-serien og Taylor-serien?
1. Taylor-serien er en speciel klasse af potensserier, der kun er defineret for funktioner, der er uendeligt differentiable på et åbent interval.
2. Taylor-serien har den særlige form
hvorimod en potensrække kan være en hvilken som helst serie af formen
