Forskellen mellem logaritmisk og eksponentiel

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Logaritmisk vs eksponentiel | Eksponentiel funktion vs logaritmisk funktion

Funktioner er en af de vigtigste klasser af matematiske objekter, som er meget brugt i næsten alle underområder af matematik. Som deres navne antyder er både eksponentialfunktion og logaritmisk funktion to specielle funktioner.

En funktion er en relation mellem to sæt defineret på en sådan måde, at for hvert element i det første sæt er den værdi, der svarer til det i det andet sæt, unik. Lad ƒ være en funktion defineret fra mængden A til mængden B. For hver x ϵ A, angiver symbolet ƒ(x) den unikke værdi i mængden B, der svarer til x. Det kaldes billedet af x under ƒ. Derfor er en relation ƒ fra A til B en funktion, hvis og kun hvis, for hver x ϵ A og y ϵ A, hvis x=y så ƒ(x)=ƒ(y). Mængden A kaldes domænet for funktionen ƒ, og det er mængden, hvori funktionen er defineret.

Hvad er eksponentiel funktion?

Den eksponentielle funktion er funktionen givet af ƒ(x)=e^x, hvor e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) og er et transcendent alt irrationelt tal. En af funktionens specialer er, at funktionens afledte er lig med sig selv; dvs. når y=e^x, dy/dx=e^x Funktionen er også en over alt kontinuerligt stigende funktion med x-aksen som en asymptote. Derfor er funktionen også en-til-en. For hver x ϵ R har vi den e^x> 0, og det kan vises, at den er på R ⁺ Den følger også den grundlæggende identitet e^x+y=e^xe^y og e⁰ =1. Funktionen kan også repræsenteres ved hjælp af serieudvidelsen givet ved 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + … + x^{/n! + …}

Hvad er logaritmisk funktion?

Den logaritmiske funktion er den inverse af eksponentialfunktionen. Da eksponentialfunktionen er en-til-en og ind på R ⁺, kan en funktion g defineres fra mængden af positive reelle tal ind i mængden af reelle tal givet af g(y))=x, hvis og kun hvis, y=e^x Denne funktion g kaldes den logaritmiske funktion eller oftest som den naturlige logaritme. Det er angivet med g(x)=log e^{x=ln x. Da det er den inverse af eksponentialfunktionen, hvis vi tager reflektionen af grafen for eksponentialfunktionen over linjen y=x, så vil vi have grafen for den logaritmiske funktion. Funktionen er således asymptotisk i forhold til y-aksen.}

Logaritmisk funktion følger nogle grundlæggende regler, hvoraf ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y og ln xy=y ln x er de vigtigste. Dette er også en stigende funktion, og den er kontinuerlig over alt. Derfor er det også en-til-en. Det kan vises, at det er på R.

Hvad er forskellen mellem eksponentiel funktion og logaritmisk funktion?

• Eksponentialfunktionen er givet ved ƒ(x)=e^{x, hvorimod den logaritmiske funktion er givet ved g(x)=ln x, og tidligere er den inverse af sidstnævnte.}

• Domænet af den eksponentielle funktion er et sæt af reelle tal, men domænet af den logaritmiske funktion er et sæt af positive reelle tal.

• Området for den eksponentielle funktion er et sæt positive reelle tal, men rækkevidden af den logaritmiske funktion er et sæt af reelle tal.