Integration vs Differentiation
Integration og differentiering er to grundlæggende begreber i calculus, som studerer ændringen. Calculus har en bred vifte af applikationer inden for mange områder, såsom videnskab, økonomi eller finans, ingeniørvidenskab og så videre.
Differentiering
Differentiering er den algebraiske procedure til beregning af afledte. Afledt af en funktion er hældningen eller gradienten af kurven (grafen) på et givet punkt. Gradient af en kurve i ethvert givet punkt er gradienten af tangenten trukket til denne kurve ved det givne punkt. For ikke-lineære kurver kan kurvens gradient variere på forskellige punkter langs aksen. Derfor er det vanskeligt at beregne gradienten eller hældningen på noget tidspunkt. Differentieringsprocessen er nyttig til at beregne kurvens gradient på ethvert tidspunkt.
En anden definition for derivat er "ændringen af en egenskab i forhold til en enhedsændring af en anden egenskab."
Lad f(x) være en funktion af en uafhængig variabel x. Hvis der forårsages en lille ændring (∆x) i den uafhængige variabel x, forårsages en tilsvarende ændring ∆f(x) i funktionen f(x); så er forholdet ∆f(x)/∆x et mål for ændringshastigheden af f(x) i forhold til x. Grænseværdien for dette forhold, da ∆x har en tendens til nul, kaldes lim∆x→0(f(x)/∆x) den første afledede af funktionen f(x), med hensyn til x; med andre ord, den øjeblikkelige ændring af f(x) ved et givet punkt x.
Integration
Integration er processen med at beregne enten bestemt integral eller ubestemt integral. For en reel funktion f(x) og et lukket interval [a, b] på den reelle linje, det bestemte integral, a∫b f(x), er defineret som arealet mellem grafen for funktionen, den vandrette akse og de to lodrette linjer ved endepunkterne af et interval. Når et specifikt interval ikke er givet, er det kendt som ubestemt integral. Et bestemt integral kan beregnes ved hjælp af anti-derivater.
Hvad er forskellen mellem integration og differentiering?
Forskellen mellem integration og differentiering er ligesom forskellen mellem "kvadrat" og "at tage kvadratroden." Hvis vi kvadrerer et positivt tal og derefter tager kvadratroden af resultatet, vil den positive kvadratrodsværdi være det tal, du kvadrerede. På samme måde, hvis du anvender integrationen på resultatet, som du opnåede ved at differentiere en kontinuerlig funktion f(x), vil det føre tilbage til den oprindelige funktion og omvendt.
Lad f.eks. F(x) være integralet af funktionen f(x)=x, derfor F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, hvor c er en vilkårlig konstant. Når man differentierer F(x) i forhold til x får vi F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, derfor er den afledede af F(x) lig med f(x).
Oversigt
– Differentiering beregner hældningen af en kurve, mens integration beregner arealet under kurven.
– Integration er den omvendte differentieringsproces og omvendt.
