Forskellen mellem aritmetiske og geometriske serier

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Arithmetic vs Geometric Series

Den matematiske definition af en serie er tæt forbundet med sekvenserne. En sekvens er et ordnet sæt tal og kan enten være et endeligt eller et uendeligt sæt. En talfølge, hvor forskellen mellem to elementer er en konstant, er kendt som en aritmetisk progression. En sekvens med en konstant kvotient af to på hinanden følgende tal er kendt som en geometrisk progression. Disse progressioner kan enten være endelige eller uendelige, og hvis endelige, er antallet af led tælleligt, ellers utælleligt.

Summen af elementerne i en progression kan generelt defineres som en serie. Summen af en aritmetisk progression er kendt som en aritmetisk række. Ligeledes er summen af en geometrisk progression kendt som en geometrisk række.

Mere om Arithmetic Series

I en aritmetisk række har de på hinanden følgende led en konstant forskel.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; hvor a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d, og så videre.}

Denne forskel d er kendt som den fælles forskel, og termen n^th er givet af a_n =a ₁+ (n-1)d; hvor a_{1 er det første led.}

Opførslen af serien ændres baseret på den fælles forskel d. Hvis den fælles forskel er positiv, har progressionen en tendens til at være positiv uendelig, og hvis den fælles forskel er negativ, tenderer den mod den negative uendelighed.

Summen af serien kan opnås ved hjælp af følgende enkle formel, som først blev udviklet af den indiske astronom og matematiker Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Summen S_{n kan enten være endelig eller uendelig, baseret på antallet af led.}

Mere om Geometric Series

En geometrisk række er en række med kvotienten af de på hinanden følgende tal konstant. Det er en vigtig serie fundet i studiet af serien på grund af de egenskaber, den besidder.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Baseret på forholdet r kan seriens opførsel kategoriseres som følger. r={|r|≥1 serie divergerer; r≤1 serie konvergerer}. Også, hvis r<0 serien svinger, dvs. serien har vekslende værdier.

Summen af den geometriske række kan beregnes ved hjælp af følgende formel. S_n =a(1-r) / (1-r); hvor a er startleddet og r er forholdet. Hvis forholdet r≤1, konvergerer rækken. For en uendelig række er værdien af konvergens givet af S_{n=a / (1-r).}

Geometric-serien har adskillige anvendelser inden for fysiske videnskaber, teknik og økonomi

Hvad er forskellen mellem aritmetiske og geometriske serier?

• En aritmetisk række er en række med en konstant forskel mellem to tilstødende led.

• En geometrisk række er en række med en konstant kvotient mellem to på hinanden følgende led.

• Alle uendelige aritmetiske rækker er altid divergerende, men afhængigt af forholdet kan den geometriske række enten være konvergent eller divergent.

• Den geometriske række kan have oscillation i værdierne; det vil sige, at tallene skifter fortegn, men den aritmetiske række kan ikke have svingninger.