Diskret funktion vs kontinuerlig funktion
Funktioner er en af de vigtigste klasser af matematiske objekter, som er flittigt brugt i næsten alle underområder af matematik. Som deres navne antyder, er både diskrete funktioner og kontinuerlige funktioner to specielle typer funktioner.
En funktion er en relation mellem to sæt defineret på en sådan måde, at for hvert element i det første sæt er den værdi, der svarer til det i det andet sæt, unik. Lad f være en funktion defineret fra mængden A til mængde B. For hver x ϵ A angiver symbolet f (x) den unikke værdi i mængden B, der svarer til x. Det kaldes billedet af x under f. Derfor er en relation f fra A til B en funktion, hvis og kun hvis for, hver xϵ A og y ϵ A; hvis x=y, så f (x)=f (y). Mængden A kaldes domænet for funktionen f, og det er mængden, hvori funktionen er defineret.
Betragt for eksempel forholdet f fra R til R defineret ved f (x)=x + 2 for hver xϵ A. Dette er en funktion, hvis domæne er R, da x=y for hvert reelt tal x og y betyder f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Men relationen g fra N til N defineret ved g (x)=a, hvor 'a' er en primfaktor af x er ikke en funktion som g (6)=3, såvel som g (6)=2.
Hvad er en diskret funktion?
En diskret funktion er en funktion, hvis domæne højst kan tælles. Det betyder ganske enkelt, at det er muligt at lave en liste, der indeholder alle elementerne i domænet.
Enhver endelig mængde kan højst tælles. Mængden af naturlige tal og mængden af rationelle tal er eksempler på højst tællelige uendelige mængder. Mængden af reelle tal og mængden af irrationelle tal kan højst ikke tælles. Begge sæt er utallige. Det betyder, at det er umuligt at lave en liste, der indeholder alle elementerne i disse sæt.
En af de mest almindelige diskrete funktioner er den faktorielle funktion. f:N U{0}→N rekursivt defineret ved f (n)=n f (n-1) for hver n ≥ 1 og f (0)=1 kaldes den faktorielle funktion. Bemærk, at dets domæne N U{0} højst kan tælles.
Hvad er en kontinuerlig funktion?
Lad f være en funktion, således at for hvert k i domænet af f, f (x)→ f (k) som x → k. Så er f en kontinuerlig funktion. Det betyder, at det er muligt at gøre f (x) vilkårligt tæt på f (k) ved at gøre x tilstrækkelig tæt på k for hver k i domænet af f.
Betragt funktionen f (x)=x + 2 på R. Det kan ses, at som x → k, er x + 2 → k + 2 f (x)→ f (k). Derfor er f en kontinuerlig funktion. Overvej nu g på positive reelle tal g (x)=1 hvis x > 0 og g (x)=0 hvis x=0. Så er denne funktion ikke en kontinuerlig funktion, da grænsen for g (x) ikke eksisterer (og derfor er den ikke lig med g (0)) som x → 0.
Hvad er forskellen mellem diskret og kontinuerlig funktion?
• En diskret funktion er en funktion, hvis domæne højst kan tælles, men det behøver ikke være tilfældet i kontinuerlige funktioner.
• Alle kontinuerte funktioner ƒ har den egenskab, at ƒ(x)→ƒ(k) som x →k for hver x og for hver k i domænet af ƒ, men det er ikke tilfældet i nogle diskrete funktioner.
