Relation kontra funktion
Fra gymnasiets matematik og fremefter bliver funktion et almindeligt begreb. Selvom det bruges ret ofte, bruges det uden ordentlig forståelse af dets definition og fortolkninger. Denne artikel fokuserer på at beskrive disse aspekter af en funktion.
Relation
En relation er en forbindelse mellem elementerne i to sæt. I en mere formel indstilling kan det beskrives som en delmængde af det kartesiske produkt af to sæt X og Y. Kartesisk produkt af X og Y, betegnet som X×Y, er et sæt ordnede par bestående af elementer fra de to sæt, ofte betegnet som (x, y). Sættene behøver ikke at være forskellige. For eksempel kaldes en delmængde af elementer fra A×A en relation på A.
Function
Funktioner er en speciel type relationer. Denne specielle type relation beskriver, hvordan et element er afbildet til et andet element i et andet sæt eller det samme sæt. For at relationen skal være en funktion, skal to specifikke krav være opfyldt.
Hvert element i sættet, hvor hver kortlægning starter, skal have et tilknyttet/linket element i det andet sæt.
Elementerne i sættet, hvor kortlægningen starter, kan kun associeres/linkes til ét og kun ét element i det andet sæt
Sættet, hvorfra relationen er kortlagt, er kendt som domænet. Sættet, hvor relationen er afbildet i, er kendt som Codomain. Den delmængde af elementer i codomænet, der kun indeholder de elementer, der er knyttet til relationen, er kendt som Range.
Teknisk set er en funktion en relation mellem to sæt, hvor hvert element i det ene sæt er unikt afbildet til et element i det andet.
Bemærk følgende
- Hvert element i domænet er kortlagt til codomænet.
- Flere elementer i domænet er forbundet til den samme værdi i codomænet, men et enkelt element fra domænet kan ikke forbindes til mere end ét element i codomænet. (Mapping skal være unik)
- Hvis hvert enkelt element i domænet er kortlagt til distinkte og unikke elementer i codomænet, siges funktionen at være en "en-til-en"-funktion.
Codomain indeholder andre elementer end dem, der er forbundet med elementerne i domænet. Rækkevidden behøver ikke at være codomænet. Hvis codomænet er lig med området, er funktionen kendt som en "onto"-funktion
Når de værdier, der kan tages af funktionen, er reelle, kaldes det en reel funktion. Elementerne i codomæne og domæne er reelle tal.
Funktioner er altid angivet ved hjælp af variabler. Elementerne i codomænet er symbolsk repræsenteret af variablen. Notationen f(x) repræsenterer elementerne i området. Relationen kan repræsenteres ved hjælp af udtrykket i formen f(x)=x^2. Det siger, at elementet i domænet er afbildet i kvadratet af elementet, inden for codomænet.
Hvad er forskellen mellem funktion og relation?
• Funktioner er en speciel type relationer.
• Relationen er baseret på det kartesiske produkt af to sæt.
• Funktionen er baseret på relationer med specifikke egenskaber.
• Domæne for en funktion skal kortlægges i codomænet, således at hvert element har en unikt bestemt, tilsvarende værdi i codomænet. Relation kan linke enkelt element til flere værdier.
