Bestemte vs ubestemte integraler
Calculus er en vigtig gren af matematikken, og differentiering spiller en afgørende rolle i calculus. Den omvendte differentieringsproces er kendt som integration, og den omvendte er kendt som integralet, eller ganske enkelt sagt, det omvendte af differentieringen giver et integral. Baseret på de resultater, de producerer, er integralerne opdelt i to klasser; bestemte og ubestemte integraler.
Mere om ubestemte integraler
Ubestemt integral er mere en generel form for integration, og det kan tolkes som anti-afledningen af den betragtede funktion. Antag, at differentiering af F giver f, og integrationen af f giver integralet. Det skrives ofte som F(x)=∫ƒ(x)dx eller F=∫ƒ dx, hvor både F og ƒ er funktioner af x, og F er differentierbar. I ovenstående form kaldes det et Reimann-integral, og den resulterende funktion ledsager en vilkårlig konstant. Et ubestemt integral frembringer ofte en familie af funktioner; derfor er integralet ubestemt.
Integraler og integrationsprocessen er kernen i løsning af differentialligninger. Men i modsætning til differentieringen følger integrationen ikke altid en klar og standard rutine; nogle gange kan løsningen ikke udtrykkes eksplicit i form af elementær funktion. I så fald gives den analytiske løsning ofte i form af et ubestemt integral.
Mere om Definite Integrals
Bestemte integraler er de meget værdsatte modstykker til ubestemte integraler, hvor integrationsprocessen faktisk producerer et endeligt tal. Det kan defineres grafisk som det område, der er afgrænset af kurven for funktionen ƒ inden for et givet interval. Når integrationen udføres inden for et givet interval af den uafhængige variabel, producerer integrationen en bestemt værdi, som ofte skrives som a∫bƒ(x) dx eller a∫b ƒdx.
De ubestemte integraler og bestemte integraler er indbyrdes forbundne gennem den første grundlæggende sætning i calculus, og det gør det muligt at beregne det bestemte integral ved hjælp af de ubestemte integraler. Sætningen siger a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), hvor både F og ƒ er funktioner af x, og F er differentierbar i intervallet (a, b). I betragtning af intervallet er a og b kendt som henholdsvis den nedre grænse og den øvre grænse.
I stedet for kun at stoppe med reelle funktioner, kan integrationen udvides til komplekse funktioner, og disse integraler kaldes konturintegraler, hvor ƒ er en funktion af den komplekse variabel.
Hvad er forskellen mellem bestemte og ubestemte integraler?
Ubestemte integraler repræsenterer anti-afledningen af en funktion og ofte en familie af funktioner snarere end en bestemt løsning. I bestemte integraler giver integrationen et endeligt tal.
Ubestemte integraler associerer en vilkårlig variabel (deraf funktionsfamilien), og bestemte integraler har ikke en vilkårlig konstant, men en øvre grænse og en nedre grænse for integration.
Ubestemt integral giver norm alt en generel løsning til differentialligningen.
