Transitiv ejendom vs substitutionsejendom
Erstatningsegenskaben bruges til værdier eller variabler, der repræsenterer tal. Substitutionsegenskaben ved lighed siger, at for alle tal a og b, hvis a=b, så kan a erstattes med b. Derfor, hvis a=b, så kan vi ændre et hvilket som helst 'a' til et 'b' eller et hvilket som helst 'b' til et 'a'.
For eksempel, hvis det er givet, at x=6, så kan vi løse udtrykket (x+4)/5 ved at erstatte værdien af x. Ved at erstatte x med 5 i ovenstående udtryk; (6+4)/5=2. I det væsentlige kan alle to værdier erstattes af hinanden, hvis og kun hvis de er ens med hinanden.
Der er en substitutionsegenskab defineret i geometri. Ifølge denne substitutionsegenskabsdefinition, hvis to geometriske objekter (det kan være to vinkler, segmenter, trekanter eller hvad som helst) er kongruente, så kan disse to geometriske objekter erstattes med hinanden i en sætning, der involverer en af dem.
Transitiv egenskab er en mere formel definition, som er defineret på binære relationer. En relation R fra mængden A til mængden B er et sæt af ordnede par, hvis A og B er ens, siger vi at relationen er en binær relation på A. Transitiv egenskab er en ud af egenskaberne (Refleksiv, Symmetrisk, Transitive) bruges til at definere ækvivalensrelationer.
En relation R er transitiv, hvis og kun hvis x er relateret med R til y, og y er relateret med R til z, så er x relateret med R til z. Symbolsk kan en transitiv egenskab defineres som følger. Lad a, b og c høre til en mængde A, en binær relation '~' har den transitive egenskab defineret af, Hvis a ~ b og b ~ c, så indebærer det a ~ c.
For et eksempel er "at være større end" en transitiv relation. Hvis a, b og c er reelle tal, således at a er større end b, og b er større end c, så er det en logisk konsekvens, at a er større end c. "At være højere" er også en transitiv relation. Hvis Kate er højere end Mary, og Mary er højere end Jenney, betyder det, at Kate er højere end Jenney.
Vi kan ikke anvende transitive relationskriterier på alle binære relationer. For eksempel, hvis Bill er Johns far, og John er Freds far, hvilket ikke betyder, at Bill er Freds far. Tilsvarende er "synes godt om" ikke-transitiv ejendom. Hvis Wilson kan lide Henry, og Henry kan lide David, betyder det ikke, at Wilson kan lide David. Derfor er det ikke en transitiv relation.
I geometri er Transitive Property (for tre segmenter eller vinkler) defineret som følger:
Hvis to segmenter (eller vinkler) hver er kongruente med et tredje segment (eller vinkel), så er de kongruente med hinanden.
Den transitive egenskab ved lighed er defineret som følger. Lad a, b og c være hvilke som helst tre elementer i mængden A, således at a=b og b=c, derefter a=c. Dette ligner substitutionsegenskab, som kan overvejes at erstatte b med c i ligningen a=b. Disse to egenskaber er dog ikke de samme.
