Lineære vs ikke-lineære differentialligninger
En ligning, der indeholder mindst én differentialkoefficient eller afledt af en ukendt variabel, er kendt som en differentialligning. En differentialligning kan enten være lineær eller ikke-lineær. Formålet med denne artikel er at forklare, hvad der er lineær differentialligning, hvad er ikke-lineær differentialligning, og hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.
Siden udviklingen af kalkulus i det 18. århundrede af matematikere som Newton og Leibnitz, har differentialligninger spillet en vigtig rolle i matematikkens historie. Differentialligninger er af stor betydning i matematik på grund af deres anvendelsesområde. Differentialligninger er kernen i enhver model, vi udvikler for at forklare ethvert scenarie eller begivenhed i verden, uanset om det er inden for fysik, teknik, kemi, statistik, finansiel analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, indtil calculus blev en etableret teori, var ordentlige matematiske værktøjer ikke tilgængelige til at analysere de interessante problemer i naturen.
De resulterende ligninger fra en specifik anvendelse af calculus kan være meget komplekse og nogle gange ikke løses. Der er dog nogle, som vi kan løse, men som kan se ens og forvirrende ud. Derfor, for lettere identifikation, er differentialligninger kategoriseret efter deres matematiske adfærd. Lineær og ikke-lineær er en sådan kategorisering. Det er vigtigt at identificere forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.
Hvad er en lineær differentialligning?
Antag, at f: X→Y og f(x)=y, en differentialligning uden ikke-lineære led af den ukendte funktion y og dens afledte er kendt som en lineær differentialligning.
Det pålægger betingelsen, at y ikke kan have højere indeksudtryk, såsom y2, y3, … og multipla af afledte som
Det kan heller ikke indeholde ikke-lineære termer såsom Sin y, e y ^-2 eller ln y. Det har formen
hvor y og g er funktioner af x. Ligningen er en differentialligning af orden n, som er indekset for den højeste ordens afledte.
I en lineær differentialligning er differentialoperatoren en lineær operator, og løsningerne danner et vektorrum. Som et resultat af løsningssættets lineære karakter er en lineær kombination af løsningerne også en løsning på differentialligningen. Det vil sige, hvis y1 og y2 er løsninger af differentialligningen, så C1 y 1+ C2 y2 er også en løsning.
Lineariteten af ligningen er kun én parameter i klassifikationen, og den kan yderligere kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og ordinære eller partielle differentialligninger. Hvis funktionen er g=0, er ligningen en lineær homogen differentialligning. Hvis f er en funktion af to eller flere uafhængige variable (f: X, T→Y) og f(x, t)=y, så er ligningen en lineær partiel differentialligning.
Løsningsmetoden for differentialligningen er afhængig af differentialligningens type og koefficienter. Det nemmeste tilfælde opstår, når koefficienterne er konstante. Klassisk eksempel for denne sag er Newtons anden lov om bevægelse og dens forskellige anvendelser. Newtons anden lov producerer en andenordens lineær differentialligning med konstante koefficienter.
Hvad er en ikke-lineær differentialligning?
Ligninger, der indeholder ikke-lineære led, er kendt som ikke-lineære differentialligninger.
Alle ovenstående er ikke-lineære differentialligninger. Ikke-lineære differentialligninger er vanskelige at løse, derfor er det nødvendigt at studere nærmere for at opnå en korrekt løsning. I tilfælde af partielle differentialligninger har de fleste ligninger ingen generel løsning. Derfor skal hver ligning behandles uafhængigt.
Navier-Stokes ligning og Eulers ligning i væskedynamik, Einsteins feltligninger for generel relativitet er velkendte ikke-lineære partielle differentialligninger. Nogle gange kan anvendelsen af Lagrange-ligningen på et variabelsystem resultere i et system af ikke-lineære partielle differentialligninger.
Hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger?
• En differentialligning, som kun har de lineære led af den ukendte eller afhængige variabel og dens afledte, er kendt som en lineær differentialligning. Den har ingen term med den afhængige variabel af indekset højere end 1 og indeholder ikke et multiplum af dets derivater. Det kan ikke have ikke-lineære funktioner såsom trigonometriske funktioner, eksponentiel funktion og logaritmiske funktioner med hensyn til den afhængige variabel. Enhver differentialligning, der indeholder ovennævnte udtryk, er en ikke-lineær differentialligning.
• Løsninger af lineære differentialligninger skaber vektorrum, og differentialoperatoren er også en lineær operator i vektorrum.
• Løsninger af lineære differentialligninger er relativt nemmere, og der findes generelle løsninger. For ikke-lineære ligninger eksisterer den generelle løsning i de fleste tilfælde ikke, og løsningen kan være problemspecifik. Dette gør løsningen meget sværere end de lineære ligninger.
