Forskellen mellem aritmetisk sekvens og geometrisk sekvens

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2024-01-17 23:27

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens

Undersøgelsen af talmønstre og deres adfærd er en vigtig undersøgelse inden for matematik. Ofte kan disse mønstre ses i naturen og hjælper os med at forklare deres adfærd i et videnskabeligt synspunkt. Aritmetiske sekvenser og geometriske sekvenser er to af de grundlæggende mønstre, der forekommer i tal og ofte findes i naturlige fænomener.

Sekvensen er et sæt af ordnede numre. Antallet af elementer i sekvensen kan enten være endeligt eller uendeligt.

Mere om aritmetisk sekvens (aritmetrisk progression)

En aritmetisk sekvens er defineret som en sekvens af tal med en konstant forskel mellem hvert på hinanden følgende led. Det er også kendt som aritmetisk progression.

Arithmetic Sequnece ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; hvor a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, og så videre.}

Hvis det indledende led er a₁ og den fælles forskel er d, så er n^{th led i sekvensen givet ved;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Ved at tage ovenstående resultat videre kan termen n^{th også angives som;}

a_n =a_m + (n-m)d, hvor a_{m er et tilfældigt udtryk i den rækkefølge, at n > m.}

Mættet af lige tal og sættet af ulige tal er de enkleste eksempler på aritmetiske sekvenser, hvor hver sekvens har en fælles forskel (d) på 2.

Antallet af led i en sekvens kan enten være uendeligt eller endeligt. I det uendelige tilfælde (n → ∞) har sekvensen en tendens til uendelig afhængigt af den fælles forskel (a_{n → ±∞). Hvis fælles forskel er positiv (d > 0), har sekvensen en tendens til positiv uendelighed, og hvis fælles forskel er negativ (d < 0), tenderer den til den negative uendelighed. Hvis led er endelige, er rækkefølgen også endelig.}

Summen af led i den aritmetiske rækkefølge er kendt som den aritmetiske række: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{og S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] giver værdien af serie (S}n)

Mere om geometrisk sekvens (geometrisk progression)

En geometrisk sekvens er defineret som en sekvens, hvor kvotienten af to på hinanden følgende led er en konstant. Dette er også kendt som geometrisk progression.

Geometrisk sekvens ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; hvor a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, og så videre, hvor r er et reelt tal.}

Det er nemmere at repræsentere den geometriske sekvens ved at bruge det fælles forhold (r) og det indledende led (a). Derfor den geometriske sekvens ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Den generelle form for n^th vilkår givet af a_n =a₁r ^n-1. (Mister abonnementet på den indledende periode ⇒ a_n =ar^n-1)

Den geometriske sekvens kan også være endelig eller uendelig. Hvis antallet af led er endeligt, siges rækkefølgen at være endelig. Og hvis vilkårene er uendelige, kan rækkefølgen enten være uendelig eller endelig afhængig af forholdet r. Det fælles forhold påvirker mange af egenskaberne i geometriske sekvenser.

r > o	0 < r < +1	Sekvensen konvergerer – eksponentielt henfald, dvs. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstant sekvens, dvs. an=konstant
	r > 1	Sekvensen divergerer – eksponentiel vækst, dvs. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvensen er oscillerende, men konvergerer
	r=1	Sekvensen er vekslende og konstant, dvs. an=±konstant
	r < -1	Sekvensen er vekslende og divergerer. dvs. an → ±∞, n → ∞
r=0	Sekvensen er en streng af nuller

N. B: I alle ovenstående tilfælde, a₁ > 0; hvis a₁ < 0, vil tegnene relateret til a_{n blive omvendt.}

Tidsintervallet mellem en bolds afvisninger følger en geometrisk sekvens i den ideelle model, og det er en konvergent sekvens.

Summen af led i den geometriske sekvens er kendt som en geometrisk række; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Summen af den geometriske række kan beregnes ved hjælp af følgende formel.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); hvor a er startleddet, og r er forholdet.}

Hvis forholdet, r ≤ 1, konvergerer rækken. For en uendelig række er værdien af konvergens givet af S_n=a/(1-r)

Hvad er forskellen mellem aritmetisk og geometrisk sekvens/progression?

• I en aritmetisk rækkefølge har to på hinanden følgende led en fælles forskel (d), mens to på hinanden følgende led i geometrisk rækkefølge har en konstant kvotient (r).

• I en aritmetisk rækkefølge er variationen af termerne lineær, dvs. der kan tegnes en ret linje, der går gennem alle punkterne. I en geometrisk række er variationen eksponentiel; enten vokser eller forfalder baseret på det fælles forhold.

• Alle uendelige aritmetiske sekvenser er divergerende, hvorimod uendelige geometriske rækker enten kan være divergent eller konvergent.

• Den geometriske række kan vise oscillation, hvis forholdet r er negativt, mens den aritmetiske række ikke viser oscillation