Associative vs Commutative
I vores daglige liv er vi nødt til at bruge tal, når vi har brug for at få et mål for noget. I købmanden, på tankstationen og endda i køkkenet skal vi lægge til, trække fra og gange to eller flere mængder. Fra vores praksis udfører vi disse beregninger ganske ubesværet. Vi bemærker eller stiller aldrig spørgsmålstegn ved, hvorfor vi udfører disse operationer på denne særlige måde. Eller hvorfor disse beregninger ikke kan laves på en anden måde. Svaret er skjult i den måde, disse operationer er defineret på i det matematiske felt af algebra.
I algebra er en operation, der involverer to størrelser (såsom addition) defineret som en binær operation. Mere præcist er det en operation mellem to elementer fra et sæt, og disse elementer kaldes 'operanden'. Mange operationer i matematik, herunder aritmetiske operationer nævnt tidligere og dem, man støder på i mængdeteorien, lineær algebra og matematisk logik, kan defineres som binære operationer.
Der er et sæt styrende regler, der vedrører en specifik binær operation. Associative og de kommutative egenskaber er to grundlæggende egenskaber ved de binære operationer.
Mere om kommutativ ejendom
Antag, at en binær operation, angivet med symbolet ⊗, udføres på elementerne A og B. Hvis rækkefølgen af operanderne ikke påvirker resultatet af operationen, siges operationen at være kommutativ. dvs. hvis A ⊗ B=B ⊗ A, så er operationen kommutativ.
De aritmetiske operationer addition og multiplikation er kommutative. Rækkefølgen af tallene lagt sammen eller ganget sammen påvirker ikke det endelige svar:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Men i tilfælde af division giver ændring i rækkefølgen det reciproke af den anden, og i subtraktion giver ændringen den negative af den anden. Derfor
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 og 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 og 5 ÷ 4=1,25 [i dette tilfælde A, B ≠ 1 og 0]
Faktisk siges subtraktionen at være anti-kommutativ; hvor A – B=– (B – A).
De logiske forbindelser, konjunktionen, disjunktionen, implikationen og ækvivalensen, er også kommutative. Sandhedsfunktioner er også kommutative. Den indstillede operationsforening og skæringspunktet er kommutative. Addition og skalarproduktet af vektorerne er også kommutative.
Men vektorsubtraktionen og vektorproduktet er ikke kommutativt (vektorproduktet af to vektorer er antikommutativt). Matrixadditionen er kommutativ, men multiplikationen og subtraktionen er ikke kommutativ.(Multiplikation af to matricer kan være kommutativ i særlige tilfælde, såsom multiplikation af en matrix med dens inverse eller identitetsmatrix; men matricer er bestemt ikke kommutative, hvis matricerne ikke er af samme størrelse)
Mere om Associative Property
En binær operation siges at være associativ, hvis rækkefølgen af udførelsen ikke påvirker resultatet, når to eller flere forekomster af operatoren er til stede. Overvej elementerne A, B og C og den binære operation ⊗. Operationen ⊗ siges at være associativ hvis
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Fra de grundlæggende aritmetiske funktioner er kun addition og multiplikation associative.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Subtraktionen og divisionen er ikke associative;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 og (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 og (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
De logiske forbindelser disjunktion, konjunktion og ækvivalens er associative, ligesom den indstillede operations union og skæring. Matrixen og vektoradditionen er associative. Det skalære produkt af vektorer er associativt, men vektorproduktet er det ikke. Matrixmultiplikation er kun associativ under særlige omstændigheder.
Hvad er forskellen mellem kommutativ og associativ ejendom?
• Både den associative egenskab og den kommutative egenskab er særlige egenskaber for de binære operationer, og nogle opfylder dem, og nogle gør ikke.
• Disse egenskaber kan ses i mange former for algebraiske operationer og andre binære operationer i matematik, såsom skæringspunktet og foreningen i mængdeteori eller de logiske forbindelser.
• Forskellen mellem kommutativ og associativ er, at kommutativ egenskab angiver, at rækkefølgen af elementerne ikke ændrer det endelige resultat, mens associativ egenskab angiver, at rækkefølgen, som operationen udføres i, ikke påvirker det endelige svar.
