Adjoint vs Inverse Matrix
Både adjoint matrix og den inverse matrix opnås fra lineære operationer på en matrix, og de er to forskellige matricer med forskellige egenskaber.
Mere om (klassisk) Adjoint eller Adjugate Matrix
Den adjointmatrix eller den adjugatmatrix er transponeringen af cofaktormatrixen. Hvis cofaktormatrixen for A er C, så er adjugatmatricen af A givet ved C T. dvs. adj(A)=C T.
Cofaktormatrix er givet ved C=(-1)i+j M ij, hvor M ij er minor i elementet ijth. Determinanten af matricen opnået ved at fjerne ith rækken og jth kolonnen er kendt som minor i ijthelement. [For at beregne adjugatmatricen skal du først finde minorerne for hvert element, derefter danne cofaktormatrixen og til sidst tage transponeringen af, der giver adjugatmatricen].
Adjointen kan bruges til at beregne den inverse af en matrix og til at finde den afledede af en determinant ved hjælp af Jacobis formel. Udtrykket "adjoint" er ret forældet og bruges nu til kompleks konjugat af en matrix. Derfor er det korrekte udtryk adjugeret matrix eller supplerende matrix.
Mere om Inverse Matrix
Invers af en matrix er defineret som en matrix, der giver identitetsmatrixen, når den ganges sammen. Derfor, per definition, hvis AB=BA=I, så er B den inverse matrix af A, og A er den inverse matrix af B. Så hvis vi betragter B=A -1, så AA -1 =A -1 A=I
For at en matrix skal være inverterbar, er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse, at determinanten af A ikke er nul.dvs. | A |=det(A) ≠ 0. En matrix siges at være invertibel, ikke-singular eller ikke-degenerativ, hvis den opfylder denne betingelse. Det følger heraf, at A er en kvadratisk matrix, og at både A -1 og A har samme størrelse.
Det omvendte af matricen A kan beregnes ved hjælp af mange metoder i lineær algebra, såsom Gauss elimination, egendekomponering, Cholesky-nedbrydning og Carmers regel. En matrix kan også inverteres ved blokinversionsmetoden og Neumann-serien.
Cramers regel giver en analytisk metode til at finde det inverse af en matrix, og betingelsen om ikke-singularitet kan også forklares af resultaterne. Efter Cramers regel A -1 =adj(A)/det(A) eller adj(A)=A -1 det(A). For at dette resultat skal være gyldigt, er det(A) ≠ 0, derfor er matricer inverterbare, hvis og kun hvis ovenstående betingelse er opfyldt.
Hvad er forskellen mellem adjoint og inverse matricer?
• Adjugatet eller adjointen af en matrix er transponeringen af cofaktormatrixen, hvorimod invers matrix er en matrix, der giver identitetsmatrixen, når den multipliceres sammen.
• Adjugeret matrix kan bruges til at beregne den inverse matrix og er en af de almindelige metoder til at finde de inverse manuelt.
• For hver matrix eksisterer der en adjugeret matrix, men den inverse eksisterer, hvis og kun hvis determinanten er ikke-nul.
