Forskellen mellem integration og summering

2024 Forfatter: Alex Aldridge | [email protected]. Sidst ændret: 2023-12-17 13:35

Integration vs Summation

I ovenstående gymnasiematematik findes integration og summering ofte i matematiske operationer. De bruges tilsyneladende som forskellige værktøjer og i forskellige situationer, men de deler et meget tæt forhold.

Mere om Summation

Summation er operationen med at tilføje en række tal, og operationen er ofte angivet med det græske bogstav med stort sigma Σ. Det bruges til at forkorte summeringen og lig med summen/totalen af sekvensen. De bruges ofte til at repræsentere serierne, som i det væsentlige er uendelige sekvenser opsummeret. De kan også bruges til at angive summen af vektorer, matricer eller polynomier.

Summeringen foretages norm alt for en række værdier, der kan repræsenteres af en generel term, såsom en serie, der har en fælles term. Startpunktet og slutpunktet for summeringen er kendt som henholdsvis den nedre og øvre grænse for summationen.

For eksempel summen af sekvensen a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n er a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, som nemt kan repræsenteres ved hjælp af summeringsnotationen som ∑ _i=1 a_{i; i kaldes summeringsindekset.}

Mange variationer bruges til summeringen baseret på applikationen. I nogle tilfælde kan den øvre og nedre grænse angives som et interval eller et interval, såsom ∑_1≤i≤100 a_i og ∑_{i∈[1, 100]} a_i Eller det kan gives som et sæt tal som ∑_i∈P a_{i, hvor P er et defineret sæt.}

I nogle tilfælde kan to eller flere sigma-tegn bruges, men de kan generaliseres som følger; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Også følger summeringen mange algebraiske regler. Da den indlejrede operation er tilføjelsen, kan mange af algebraens almindelige regler anvendes på selve summerne og for de individuelle udtryk, der er afbildet af summeringen.

Mere om integration

Integrationen er defineret som den omvendte differentieringsproces. Men i sin geometriske visning kan det også betragtes som det område, der er omsluttet af kurven for funktionen og aksen. Derfor giver beregning af arealet værdien af et bestemt integral som vist i diagrammet.

Billedkilde:

Værdien af det bestemte integral er faktisk summen af de små strimler inde i kurven og aksen. Arealet af hver strimmel er højden×bredden på det punkt på den betragtede akse. Bredde er en værdi, vi kan vælge, f.eks. ∆x. Og højden er tilnærmelsesvis værdien af funktionen ved det betragtede punkt, f.eks. f (x_{i). Fra diagrammet er det tydeligt, at jo mindre strimlerne er bedre, passer strimlerne inden for det afgrænsede område, og dermed en bedre tilnærmelse af værdien.}

Så generelt kan det bestemte integral I, mellem punkterne a og b (dvs. i intervallet [a, b] hvor a<b), gives som I ≅ f (x_{1))∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, hvor n er antallet af strimler (n=(b-a)/∆x). Denne summering af området kan let repræsenteres ved hjælp af summeringsnotationen som I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Da tilnærmelsen er bedre, når ∆x er mindre, kan vi beregne værdien, når ∆x→0. Derfor er det rimeligt at sige I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Som en generalisering fra ovenstående koncept, kan vi vælge ∆x baseret på det betragtede interval indekseret med i (valg af bredden af området baseret på positionen). Så får vi

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x) i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Dette er kendt som Reimann-integralet af funktionen f (x) i intervallet [a, b]. I dette tilfælde er a og b kendt som den øvre og nedre grænse af integralet. Reimann integral er en grundlæggende form for alle integrationsmetoder.

Integration er i bund og grund summeringen af arealet, når rektanglets bredde er uendelig lille.

Hvad er forskellen mellem integration og summering?

• Summation er sammenlægning af en række tal. Norm alt gives summeringen i denne form ∑_i=1 a_{i når termerne i rækkefølgen har et mønster og kan udtrykkes ved hjælp af en generel term.}

• Integration er grundlæggende det område, der afgrænses af funktionens kurve, aksen og øvre og nedre grænser. Dette område kan angives som summen af meget mindre områder inkluderet i det afgrænsede område.

• Summation involverer de diskrete værdier med de øvre og nedre grænser, hvorimod integrationen involverer kontinuerlige værdier.

• Integration kan tolkes som en speciel form for summering.

• I numeriske beregningsmetoder udføres integration altid som en summering.