Reelle tal vs imaginære tal
Tal er matematiske objekter, der bruges til at tælle og måle. Definitionen af det har ændret sig gennem årene med tilføjelse af nul, negative tal, rationelle tal, irrationelle tal og imaginære tal. Selvom det abstrakte grundlag for talsystemer relaterer sig til algebraiske strukturer såsom grupper, ringe og felter, præsenteres kun en intuitiv idé her.
Hvad er et reelt tal?
Uformelt definerende er et reelt tal et tal, hvis kvadrat er ikke-negativt. I matematisk notation betegner vi mængden af reelle tal med symbolet R. Derfor for alle x, hvis x ϵ R, så er x 2 ≥ 0. På en mere stringent måde kan sættet af reelle tal introduceres som det unikke, fuldstændige, tot alt ordnede felt med den binære operation + og. sammen med ordensrelationen <. Denne ordensrelation følger trikotomiloven, som siger, at givet to reelle tal x og y, gælder kun én af disse 3; x > y, x < y eller x=y.
Et reelt tal kan enten være algebraisk eller transcendent alt afhængigt af, om det er en rod af en polynomielligning med heltalskoefficienter eller ej. Et reelt tal kan også være enten rationelt eller irrationelt afhængigt af, om det kan udtrykkes som et forhold mellem to heltal eller ej. For eksempel er 2,5 et reelt tal, som er algebraisk og rationelt, men ᴫ er irrationelt såvel som transcendent alt.
Sættet af reelle tal er komplet. Det betyder, at for hver ikke-tom delmængde af reelle tal, der er afgrænset ovenfor, har en mindst øvre grænse, og ud fra dette kan det udledes, at for hver ikke-tom delmængde af reelle tal, der er afgrænset nedenfor, har den største nedre grænse. Dette adskiller mængden af reelle tal fra mængden af rationelle tal. Man kan argumentere for, at mængden af reelle tal er bygget ved at udfylde hullerne i mængden af ufuldstændige rationelle tal, idet hullerne er irrationelle tal.
Hvad er et imaginært tal?
Et imaginært tal er et tal, hvis kvadrat er negativt. Med andre ord er tal som √(-1), √(-100) og √(- e) imaginære tal. Alle de imaginære tal kan skrives i formen a i, hvor i er den 'imaginære enhed' √(-1) og a er et reelt tal, der ikke er nul. (Bemærk at i2=-1). Selvom disse tal ser ud til at være uvirkelige, og som navnet antyder ikke-eksisterende, bruges de i mange vigtige applikationer i den virkelige verden inden for områder som luftfart, elektronik og teknik.
Hvad er forskellen mellem reelle tal og imaginære tal?• Kvadratet af et reelt tal er ikke-negativt, men kvadratet af et imaginært tal er negativt. • Sæt af reelle tal danner et komplet, fuldstændig ordnet felt, hvorimod sættet af imaginære tal hverken er komplet eller ordnet. |
